Вариант 8 Часть 1

1. Используя теорему существования определенного интеграла, установить, существует ли определенный интеграл от заданной функции на указанном промежутке: а) , ; б) у= cos2x, [0, +); в) у = (4х² + 5х +1)cosx, [–1; 1] .

2. Используя одно из свойств определенного интеграла, упростить вычисление интеграла

3. Не вычисляя, определить, какой из интегралов больше: а) или; б)или. Ответ обосновать.

4. Чему равны и , если р(х) - четная функция; нечетная функция?

5. Вычислить: а) , б) , в) , г) , д) , е) , ж), аZ з).

6. Вычислить , если f(x) =.

7. Вычислить интегралы, или установить их расходимость:

а) , б) .

Часть 2

1. Построить фигуру, ограниченную линиями, и найти ее площадь:а) , ; б) .

2. Найти длину дуги кривой : а) б), .

3. Найти объем тела, полученного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной кривыми , .

4. Два тела начали двигаться в один и тот же момент из одной точки в одном направлении. Одно двигалось со скоростью м/с, другое – со скоростью м/с. Через сколько секунд расстояние между ними будет 81 м?

5. Найти момент инерции относительно оси ОY площади, ограниченной линиями

6. Деревянная прямоугольная балка плавает в воде. Найти работу, необходимую для извлечения балки из воды, если известны ее размеры а = 6 м, b = 0,3 м, с = 0,2 м и плотность дерева ρ = 0,8.

Дополнительные задачи

1. Вычислить интеграл, рассматривая его как предел интегральной суммы.

2. Оценить интеграл .

3. Исходя из геометрического смысла определенного интеграла, найти: а) , б) .

4. Исследовать сходимость интеграла .

5. Вычислить .

6. Найти площадь фигуры, ограниченную кривыми , , где . Сделать чертеж.

7. Доказать, что дуга параболы , соответствующая интервалу имеет ту же длину, что и дуга спирали , соответствующая интервалу .

8. Одна арка циклоиды вращается вокруг своего основания. Найти объем тела, ограниченного полученной поверхностью.

9. Пластина в форме треугольника погружена в воду так, что ее основание лежит на поверхности воды. Основание пластины а, высота – h. Во сколько раз увеличится давление на пластинку, если перевернуть ее так, что на поверхности окажется вершина, а основание будет параллельно поверхности воды?

ОТВЕТЫ. Часть 1. 1. а) нет; б) нет; в) да. 2.. 3. а); б). 4.,.

5. а) 4еб) 8/3 в) 2/9 г) π д)20/3 е)ж)з) ω²(2е–1)

6. 16/5 + 0,5ln2 7. а) расходится б) 1

Часть 2. 1. А) 36 б) πа2/2 2. А)б)3. 4. 3 сек 5.6,4g

6. 0,5ρgс²аb.

Вариант 9 Часть 1

1. Используя теорему существования определенного интеграла, установить, существует ли определенный интеграл от заданной функции по указанному промежутку: а) f(x) = , б) f(x) = 4х³ +х², [1; 3]; в)

2. Используя одно из свойств определенного интеграла, упростить вычисление интеграла .

3. Не вычисляя, определить, какой из интегралов больше:

а) или ; б) или . Ответ обосновать.

4. Чему равны и , если Ф(х)- четная функция; нечетная функция?

5. Вычислить: а) , б), в); г);

д) ; е); ж),kZ; з).

6. Вычислить , если f(x) =.

7. Вычислять интегралы, или установить их расходимость:

а) , б) .