Дополнительные задачи

1. Вычислить интеграл, рассматривая его как предел интегральной суммы.

2. Оценить интеграл .

3. Исходя из геометрического смысла определенного интеграла, найти: а) , б) .

4. Исследовать сходимость интеграла .

5. Вычислить .

6. В каком отношении парабола y²=2х делит площадь круга ?

7. Найти длину линии, заданной уравнением ,.

8. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью бесконечного веретена, образованного вращением линии вокруг ее асимптоты.

9. Цилиндр с подвижным поршнем диаметра Д = 20 см и длины l = 80 см заполнен паром при давлении Р = 10 кГ/см². Какую работу надо затратить, чтобы при неизменной температуре (изотермический процесс, когда PV = P₀V₀) объем пара уменьшить в два раза?

ОТВЕТЫ. Часть1. 1. а) да; б)нет; в) нет. 2. 0 3. а); б)

4.,.

5. а)11/3 б)в)г)2–π/2 д)е)ж)18ln9–104/9

з) 6.ln8–7/3–4cos4+4cos2 7. а)б) расходится

Часть 2. 1. А)4; б)πа2/4 2. А) 134р/27 ≈ 4,962р; б) 8а3. 39,6π. 4. 1296 5. 11300g6. Вариант 7 Часть 1

1. Используя теорему существования определенного интеграла, установить, существует ли определенный интеграл от заданной функции по указанному промежутку: а) f(x) = cosx + 2sinx, б), в)

2. Используя одно из свойств определенного интеграла, упростить вычисление интеграла

3. Не вычисляя, определить, какой из интегралов больше:

а) или ; б) или . Ответ обосновать

4. Чему равны и , если Ф(х)- четная функция; нечетная функция?

5. Вычислить: а) , б), в); г);

д) ; е); ж); з) .

6. Вычислить , если f(x) =.

7. Вычислять интегралы, или установить их расходимость:

а) , б) .

Часть 2

1. Построить фигуру, ограниченную линиями, и найти ее площадь:

а) , , ; б) , а > 0.

2. а) Найти длину цепной линии на отрезке [0; а].

б) Найти длину астроиды .

3. Фигура, ограниченная дугой эллипса и двумя прямыми, перпендикулярными к оси ОХ и проходящими через фокусы эллипса, вращается вокруг оси ОХ. Найти объем тела вращения.

4. Два тела начали двигаться в один и тот же момент из одной точки в одном направлении. Одно двигалось со скоростью м/с, другое – со скоростью м/с. Какое расстояние между ними было через 4 секунды?

5. Вычислить силу давления воды на треугольник с высотой h и основанием а, если он погружен в воду так, что его основание лежит на поверхности воды.

6. Найдите работу против сил выталкивания при погружении шара радиуса R в воду.

Дополнительные задачи

1. Вычислить интеграл, рассматривая его как предел интегральной суммы.

2. Оценить интеграл .

3. Исходя из геометрического смысла определенного интеграла, найти: а) ; б).

4. Исследовать сходимость интеграла.

5. Вычислить .

6. Найти площадь, ограниченную кривой и осью ОХ.

7. Найти длину дуги кривой между точками х=0 и х = 3.

8. /4б/ Найти объем тела, полученного от вращения криволинейной трапеции, ограниченной линией с основанием [0;1] вокруг оси ОХ.

9. /4б/В динамомашине электродвижущая сила переменного тока выражается формулой , где Т – продолжительность периода в секундах; Е₀ - амплитуда. Найти среднее значение электродвижущей силы на отрезке

ОТВЕТЫ. Часть 1. 1. а) да; б) нет; в) нет. 2.0. 3. а) <; б).

4.,.

5. а) 2/5 б)в)arctg4–arctg3 г)д) π/6 е)ж) 0 з) ω(е–2) 6. 0,5(е²– 1) +sin1 7. а) расходится б) 0,5е^–1. Часть 2. 1. а) 4 б) πа²/2 2. а) 0,5(е^а – е^–а) б)6R3.4. 80 м 5.аh²/6 6.Указание: объем шарового сегмента высотыhравен, Архимедова сила выталкиванияF=ρgV