Пример 3.3

Найти стороны прямоугольника наибольшего периметра, вписанного в окружность радиуса 3

Решение. Введем систему координат так, как показано на рисунке 3.2. Тогда окружность имеет уравнение . Пусть 2х и 2у – стороны вписанного в эту окружность прямоугольника. Его периметр равен

.

По условию задачи, вершина прямоугольника лежит на окружности, следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению .

Тогда исходную задачу можно сформулировать так:

найти точку максимума функции при условии .

Таким образом, получили задачу на отыскание условного экстремума функции. Решим эту задачу методом множителей Лагранжа. Составим функцию Лагранжа

и найдем ее безусловный экстремум.

Необходимые условия экстремума в этом случае имеют вид

Решая эту систему, получим

откуда и . Но так как по условию задачи (х и у определяют длины сторон прямоугольника), то имеем единственную критическую точку при . Проверим выполнение достаточных условий экстремума. Имеем

, ,

,

отсюда .

При , т.е. в точке ,

, а ,

значит, точка М есть точка максимума функции и, следовательно, точка условного максимума функции .

Таким образом, из всех прямоугольников, вписанных в окружность радиуса 3, наибольший периметр имеет квадрат со стороной, равной .

Пример 3.4

Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области, ограниченной линиями , , .

Решение. Для наглядности построим область. Каждое из уравнений , , определяет на плоскости прямую; построив эти прямые получим искомую область – треугольник АОВ (рисунок 3.3, обозначим эту область Q). Заметим, что областью определения заданной функции является вся плоскость ХОУ, значит, эта функция определена в области Q.

Будем решать задачу, используя аналитический метод. Найдем критические точки функции. Имеем

, .

Эти производные не существуют при , следовательно, точка – критическая точка функции. Но, очевидно, условия приводят к той же точке . Значит, других критических точек функция не имеет.

Точка принадлежит области Q и является «угловой» точкой этой области. Вычислим значение функции в этой точке:

.

Исследуем функцию на границе области Q.

а) Участок АВ границы имеет уравнение , или , где . Подставив это значение у в функцию , получим функцию одной переменной

, .

Найдем критические точки этой функции

.

Легко убедиться, что дискриминант квадратного трехчлена отрицателен, поэтому производная определена на всем промежутке . Значит, критические точки функции находим только из условия , т.е. решив уравнение , откуда . Из уравнения находим и получаем точку , лежащую на участке АВ границы области Q. Вычислим значение функции в этой точке

.

б) Аналогично рассмотрим участок ВО, на нем , , функция примет вид

(т.к. ).

Тогда , критических точек нет.

в) На участке ОА , подставив это значение в функцию , получим

(т.к. в области Q), ,

следовательно, на этом участке границы также нет критических точек.

«Угловыми» точками области Q, наряду с точкой , являются точки А и В, вычислим значения функции в этих точках:

, .

Сравнивая все полученные значения функции

, , , ,

приходим к выводу, что наименьшее значение функции равно нулю и достигает его функции в точке , а наибольшее значение равно 8, достигается в точке В. Итак,

, .