Пример 1.6

Указать точки разрыва функции.

а) ; б) ;

в) .

Решение.

а) Функция элементарная, поэтому точками разрыва ее являются точки, в которых функция не определена. Область определения данной функции есть вся координатная плоскость, кроме точки – это и есть точки разрыва данной функции.

б) Функция определена и непрерывна для тех значений х и у, для которых выполняется неравенство , которое, очевидно выполняется, при условии

, или .

Но уравнение , или определяет эллипс с центром в начале координат и полуосями . Следовательно, получили линию разрыва – эллипс .

в) Область непрерывности функции трех переменных образует множество точек трехмерного пространства, координаты которых удовлетворяют условию . Рассмотрим уравнение

, или

– это уравнение однополостного гиперболоида, точки которого и являются точками разрыва заданной функции. Таким образом, имеем поверхность разрыва – гиперболоид .

Пример 2.1

Найти частные производные первого порядка функции:

а) ; б) .

Решение. а) Основной принцип нахождения частной производной функции нескольких переменных заключается в следующем:

чтобы найти производную функции по одной из ее переменных, нужно все остальные переменные считать постоянными и дифференцировать функцию по тем же правилам и формулам, по которым вычисляется производная функции одной переменной.

Используем этот принцип:

=,

.

б) Аналогично находим

;

;

.

Пример 2.2

Найти стационарные точки функции .

Решение. Стационарными называют точки области определения функции, в которых частные производные первого порядка от данной функции по всем ее аргументам равны нулю.

Областью определения данной функции является, очевидно, вся координатная плоскость ХОУ.

Найдем частные производные этой функции:

,

.

Составим и решим систему уравнений

Получим  Из первого уравнения системы находим или .

Если , то второе уравнение системы примет вид , откуда или . Получим точки .

Если , откуда , то второе уравнение решаемой системы примет вид , или , откуда или . При получим ; при получим . Значит, получили еще две точки , .

Таким образом, данная функция имеет четыре стационарные точки , , .

Пример 2.3

Найти все частные производные второго порядка функции

.

Решение. Сначала необходимо найти производные первого порядка по каждой переменной:

,

.

Теперь найдем производные второго порядка, продифференцировав полученные функции по каждой переменной:

,

= ,

,

.

Обратите внимание на равенство производных и .

Пример 2.4

Доказать, что функция удовлетворяет уравнению

. .

Решение. Функция удовлетворяет данному уравнению, если при подстановке в это уравнение и самой функции, и ее производных указанного вида уравнение обращается в тождество (равенство, справедливое для любых допустимых значений переменных).

Найдем необходимые частные производные:

= , = = ,

;

, = ,

.

Тогда левая часть заданного уравнения примет вид

Правая же часть уравнения для данной функции имеет вид

.

Очевидно, – получили тождество, значит, заданная функция удовлетворяет уравнению.

Пример 2.5

Найти производные первого порядка для функций, заданных неявно и вычислить их значения в точке (0, 1):

а) ;

б) .

Решение. а) Используем информацию: если функция z задана неявно уравнением , то ее частные производные первого порядка равны

: , .

В нашем случае . Тогда

,

,

.

Тогда

,

.

Чтобы вычислить значения этих частных производных в точке (0, 1), найдем сначала значение функции z в этой точке. Для этого используем уравнение . Полагая здесь , , получим

, ,

откуда . Тогда

,

.

б) Если у есть неявная функция переменной х, заданная уравнением , то ее производная первого порядка равна

.

Используя эту формулу, найдем производную функции у переменной х заданной неявно формулой . Здесь

.

Тогда ,

,

следовательно = .

Найдем значение производной в точке (0, 1)

.