Пример 5.1

Подобрать эмпирическую формулу для описания зависимости между величинами х и у по данным эксперимента:

х	1	2	3	4	5	6	7
у	7,5	6,4	6,1	5,9	5,5	4	3,5

Решение. На координатную плоскость ХОУ нанесем точки, соответствующие данным таблицы:

, (2; 6,4), (3; 6,1), (4; 5,9), (5; 5,5), (6; 4), (7; 3,5).

По характеру расположения этих точек можно сделать предположение, что переменные х и у связаны линейной зависимостью , причем , т.к. величина у убывает с возрастанием х (рисунок 5.2). Для отыскания параметров а и b применим метод наименьших квадратов.

Составим функцию

.

Найдем точку минимума этой функции. Используем необходимые условия экстремума:

 

Для вычисления сумм удобно составить таблицу:

№
1	1	7,5	7,5	1
2	2	6,4	12,8	4
3	3	6,1	18,3	9
4	4	5,9	23,6	16
5	5	5,5	27,5	25
6	6	4	24	36
7	7	3,5	24,5	49
	28	38,9	138,2	140

Тогда система уравнений для отыскания параметров а и b примет вид

или

Решая эту систему, получим. Таким образом, искомая эмпирическая формула имеет вид

.

Пример 5.2

Измерение температуры корпуса работающего агрегата, производимые с интервалом 5 минут, дало следующие результаты:

t, мин	5	10	15	20	25
Т, С	59,3	59,8	60,1	64,9	70,2

Считая, что зависимость между температурой и временем квадратичная, найти формулу, описывающую эту зависимость.

Решение. Квадратичная зависимость между переменными Т и t можно описать формулой . Параметры этой зависимости найдем методом наименьших квадратов.

Составим функцию .

Чтобы найти точку минимума этой функции, используем необходимые условия экстремума:

 

Для вычисления сумм составим таблицу:

№
1	5	59,3	25	125	625	296,5	1482,5
2	10	59,8	100	1000	10000	598	5980
3	15	60,1	225	3375	50625	901,5	13522,5
4	20	64,9	400	8000	160000	1298	25960
5	25	70,2	625	15625	390625	1755	43875
	75	314,3	1375	28125	611875	4849	90820

Тогда система уравнений относительно параметров имеет вид

Решая эту систему, получаем . Таким образом, искомая зависимость выражается формулой

.

39