Пример 2.6
В точке для заданного скалярного поля найти градиент и производную в направлении вектора , а также наибольшую скорость роста поля при переходе через точку М.
Решение. Скалярное поле задано функцией , значит, производная по направлению и градиент поля – это производная по направлению и градиент заданной функции.
Используем определение: градиент функции – это вектор с координатами . Найдем частные производные данной функции:
.
.
Вычислим значения этих производных в точке :
, .
Следовательно, градиент функции в точке М равен
.
Напомним, что градиент имеет простую физическую интерпретацию: этот вектор показывает направление, в котором при переходе через точку М скалярное поле растет быстрее всего.
Найдем производную функции в направлении заданного вектора, используя формулу:
,
где .
Вычислим направляющие косинусы вектора :
,
.
Тогда производная по направлению в произвольной точке имеет вид
.
В точке эта производная равна
.
С физической точки зрения, этот результат означает следующее: поскольку производная по направлению характеризует скорость изменения скалярного поля в заданном направлении, то в нашем случае скалярное поле при переходе через точку М убывает в направлении вектора .
Как уже отмечалось, скалярное поле при переходе через точку М возрастает быстрее всего в направлении градиента этого поля, при этом наибольшая скорость роста поля равна модулю градиента. Поэтому находим
,
таким образом, наибольшая скорость роста скалярного поля в точке М численно равна .
Пример 2.7
Даны точки и . Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в той из этих точек, которая лежит на поверхности.
а) ;
б) .
Решение. а) Выясним, какая из точек А и В принадлежит поверхности, заданной уравнением , для этого подставим координаты точек в это уравнение
: , значит, точка А на поверхности не лежит;
: , следовательно, точка В принадлежит поверхности, поэтому уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности будем искать в этой точке.
Используем уравнение касательной плоскости к поверхности в точке :
Чтобы записать это уравнение, найдем частные производные функции :
, .
Вычислим их значения в точке :
, .
Тогда уравнение касательной плоскости будет иметь вид
,
или .
Уравнения нормали к поверхности найдем по формуле
В нашем случае точка – это точка , значения производных функции мы уже вычисли, следовательно уравнения нормали к поверхности в точке В будут иметь вид
.
б) Определим какая из точек и принадлежит поверхности :
: 5 = 5 – верное равенство, значит, точка А лежит на данной поверхности;
: , следовательно, точка В поверхности не принадлежит.
Найдем уравнения касательной плоскости и нормали к данной поверхности в точке А.
Для этого, так же как и в предыдущем примере, найдем производные от функции z по переменным х и у. Но в этом случае функция z задана уравнением , или , как неявная функция двух переменных, поэтому ее частные производные будем искать по соответствующим правилам:
,
.
Отсюда , .
Тогда уравнение касательной плоскости к поверхности в точке имеет вид
, или ,
а уравнения нормали –
, или .