УМКД Теплотехника / 07-Курс лекций

29

и граничными условиями

t = t1 при х = х1 t = t2 при х = х2

Интегрируя (4.1), получаем

Подставляем граничные условия: t1 = c2 + c1x1; t2 = c2 + c1x2. Определяем константы интегрирования с1 и с2 через х1, х2, t1, t2:

после чего решение (4.2) представляется в виде:

то есть в виде прямой пропорциональности между температурой t и координатой х. На графике (рисунок 4.1) зависимость t = f (x) - прямая линия

(если, как было принято, коэффициент теплопроводности λ постоянен). Для определения плотности потока

30

Наконец решая совместно (4.5) и (4.3) и исключая t2, выразим изменение температуры в стенке через плотность потока q

Полученные выражения (4.3, 4.5 и 4.6) позволяют рассчитать, при заданных граничных условиях, плотность теплового потока q и температуру t = f (x) в

стенке.

4.2 Цилиндрическая стенка

Одномерное температурное поле в цилиндрической стенке возникает в случае, когда оно задано следующими граничными условиями (рисунок 4.2)

Рисунок 4.2 - Одномерное температурное поле в цилиндрической стенке с граничными условиями: t = t1 при r = r1, t = t2 при r = r2.

t = t1 при r = r t = t2 при r = r2.

Торцевые поверхности адиабатично изолированы.

1. На внутренней поверхности радиусом r1 стенки температуры равна t1, а на внешней поверхности радиусом r2 температура стенки равна t2:

t = t1 при r = r1

(4.7)

t = t2 при r = r2

Это граничные условия первого рода.

2. Второй случай задания граничных условий предусматривает известную величину температуры на одной из поверхностей стенки и, кроме того, известное значение тепловой энергии, проходящей через цилиндрическую стенку, например,

t = t1 при r = r1

(4.8)

31

qe = const

где qe – так называемая линейная плотность теплового потока или поток энергии, проходящий через единицу длины цилиндра.

Линейная плотность теплового потока qe связана с плотностью потока q. Последняя в цилиндрической стенке измеряется в зависимости от радиуса r кривизны поверхности:

q = q 1 e 2p r

В частности, если на внутренней поверхности r1 стенки плотность потока

равна q1, то qe = 2п r1 q1.

Если длина цилиндра L, а общий тепловой поток, выделенный на его поверхности, известен и равен Q, то линейная плотность qe = Q/L.

Единица измерения линейного потока – вт/м.

Линейная плотность теплового потока чрезвычайно упрощает расчеты, связанные с тепловым режимом цилиндрических объектов. Линейная плотность потока qe одинакова на внешней и внутренней цилиндрических поверхностях, что следует из закона сохранения энергии, тогда как плотность q этого потока падает по мере удаления от оси цилиндрических поверхностей, так как при этом растет периметр р = 2п r и, следовательно, сечение через которое проходит поток. Отсюда следует, в частности, что в соответствии с законом Фурье градиент температур в цилиндрической стенке падает по абсолютному значению по мере удаления от оси поверхности, так же как и плотность потока q.

Соответствующие формулы, связывающие тепловой поток, температуру и координату цилиндрической поверхности, так же как и в случае плоской стенки, наиболее просто выводятся из общего закона – дифференциального

уравнения теплопроводности Фурье (стационарного) Ñ2t = 0 .

Для цилиндрического одномерного поля это уравнение записывается в виде (смотреть 3.9б)

То есть по сравнению с одномерным плоским полем (4.1) в знаменателе (4.9) координата Х заменена на ln r. Эта замена повторяется во всех остальных формулах. Следую порядку, принятому при выводе расчетных формул плоской стенки, имеем

Определяем c1 и c2 из граничных условий первого рода (4.7), получая (сравните с 4.3),

32

Находим плотность потока, определяемую законом Фурье:

а затем и линейную плотность потока через цилиндр поверхностью 2пr:

Линейную плотность теплового потока можно рассматривать, как произведение числа 2п радиан в окружности на величину потока qрад в пределах одного радиана

Выражение для qрад по форме аналогично плотности потока q в плоской

стенке (4.5).

Если же вместо температуры t2 задана линейная плотность qe (граничные условия 4.8), то, подставляя (4.11) в (4.10), находим

(сравните с 4.6).

Аналогия между формулами для цилиндрической и плоской стенок очевидна. Эта аналогия распространяется и на формулы для сферической стенки.

33

4.3 Сферическая стенка

Сферическая стенка из однородного материала с постоянной теплопроводностью ограничена двумя поверхностями радиуса r1, r2

(рисунок 4.3).

Рисунок 4.3 - Одномерное температурное поле сферической стенки с граничными условиями: t = t1 при r = r1; t = t2 при r = r2.

Граничные условия заданы соотношением t = t1 при r = r1;

(4.13)

t = t2 при r = r2

Располагая начало сферических координат в центре сферы, имеем одномерное температурное поле с кривизной (уравнение Фурье 3.9в)

В этом уравнении Фурье для сферы величина (1/r) является аналогом координаты в случае плоскости. Эта аналогия повторяется во всех остальных формулах. При интегрировании (4.14) получаем

dt = с1 , t = c 2 + c1 1 d 1 r

r

34

Определяя с1 и с2 из граничных условий (4.13), находим

находим плотность потока, определяемую законом Фурье:

а затем и общий поток через сферу поверхностью F = 2 п r2

Общий тепловой поток Q можно рассматривать как произведение числа 4п в сфере на величину потока qстер в пределах одного стерадиана

Q = 4πq стер

где

Выражение для qстер по форме аналогично плотности потока q в плоской стенке (4.5).

Если же вместо температуры t2 задан общий поток Q через сферу, то, подставляя (4.16) в (4.15), находим

35

После простейших преобразований (4.16) получаем

где δ - толщина сферической стенки.

Таким образом, формула для сферической стенки, так же как и формулы для цилиндрической стенки, являются аналогами формул для плоской стенки, только вместо Х в них входит (1/r).

Сводка основных формул теплопроводности для стенок простой формы представлена в таблице 1.

Задача 2 Труба с наружным диаметром 160 мм и внутренним диаметром 60 мм

выполнена из материала с коэффициентом теплопроводности 0,1 вт/м.град. Температура внутренней поверхности 200 0C, наружной 100 0С.

Определить: Линейную плотность потока q e .

Плотность потока q1 вт/м2 на внутренней поверхности; Плотность потока q2 вт/м2 на наружной поверхности; Плотность потока qср вт/м2 в среднем сечении стенки;

Плотность потока q0 вт/м2 для плоской стенки, толщина которой равна толщине стенки трубы и находится при тех же граничных условиях; температуру в среднем сечении цилиндрической стенки, сравнив ее с температурой в среднем сечении плоской стенки.

Решение

r1 = 3 10-2 м; r2 = 8 10-2м; rср = 5,5 10-2 м; δ = r2 – r 1 = 5 10-2 м; t1 = 200 0C;

36

5) q 0 = λd (t1 - t 2 )

Обсуждение результатов решения.

1. Плотности потока q1, q2, qср в цилиндрической стенке резко падают по мере удаления от внутренней поверхности.

37

Рисунок 4.4 - Сравнение температурных полей и плотности потоков энергии в цилиндрической и плоской стенках

2. Плотность потока в среднем сечении цилиндрической стенки

(qср = 128 вт/м2) сравнительна близка к плотности потока в плоской стенке (q0 = 200 вт/м2). Несмотря на большое различие внешнего и внутреннего диаметров трубы (d1/d2 = 2.7), различие между qср и q0 составляет

q ср − q 0

q ср

182 − 200 = −

10

182 3. Несмотря на большое различие внешнего и внутреннего диаметров трубы,

температурное поле в стенке трубы также незначительно отклоняется от температурного поля в плоской стенке

t ср − (t ср )плоск

t ср

148 − 150 = −

1,3

148

Вывод: для оценки потоков и температурных полей в цилиндрических стенках с отношением диаметров d1/d2 < 2,7 можно пользоваться формулами плоской стенки, несколько занижая поток (до 10%) и температуру (до 1,3%).

4.4. Особенности расчета теплопроводности цилиндрической стенки

Расчет линейной плотности qe через стенки трубы по формуле (4.11)