УМКД Теплотехника / 07-Курс лекций

19

ЛЕКЦИЯ № 3

ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ. УРАВНЕНИЕ ФУРЬЕ

План лекции

3.1Теплопроводность. Уравнение Фурье.

3.2Дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье.

3.3Обсуждение сущности дифференциального уравнения теплопроводности.

3.1Физическая природа теплопроводности

По определению теплопроводности есть один из элементарных процессов теплообмена, состоящий в передачи энергии путем взаимного соприкосновения частиц тела. В твердых телах такими частицами являются молекулы или ионы, составляющие кристаллическую решетку тела, и свободные электроны (рисунок 3.1).

Рисунок 3.1 Простейшая кристаллическая решетка твердого тела

Нагревание одной области (а) выражается в усилении колебаний узлов решетки в этой области тела. Колебания передаются соседним узлам и так далее, приводят к распространению тепла по всему телу.

Если кристаллический остов тела заполнен свободными электронами (электронным газом), то основными переносчиками тепла становятся именно свободные электроны, сталкиваясь при своем хаотическом тепловом движении с колеблющимися узлами кристаллической решетки и обмениваясь

сними кинетической энергией.

Вчастности, высокая теплопроводность металла объясняется именно электронной составляющей теплопроводности, значительно превышающей долю решеточной теплопроводности.

Вдиэлектриках свободные электроны отсутствуют, поэтому теплопроводность диэлектриков существенно ниже металлической, так как она определяется только величиной решеточной теплопроводности. Теплопроводность в газах и жидкостях при отсутствии их перемешивания, осуществляется путем передачи кинетической энергии при соударении молекул в процессе их теплового хаотического движения.

Вэлектропроводных жидкостях и газах (плазме), так же как и в металле имеются свободные электроны, за счет которых теплопроводность

20

повышается. Значения коэффициентов теплопроводности веществ приведены на рисунке 3.2.

При анализе теплопроводности жидкостей и газов следует учитывать два обстоятельства.

Первое обстоятельство связано с тем, что газы и неэлектропроводные жидкости полностью или частично прозрачны для теплового излучения.

Поэтому теплообмен между твердыми стенками, разделенными газовой или жидкой прослойкой, осуществляется параллельно идущими процессами – теплопроводностью ( q λ ) и излучением ( q п). В большинстве случаев эти

элементарные процессы независимы и, следовательно, эффективная теплопроводность равна их сумме:

q эфф = q λ + q л

Рисунок 3.2 - Порядок величин коэффициента теплопроводности для различных веществ

Вторая особенность теплообмена в жидкостях и газах состоит в том, что кроме теплового, хаотического движения молекулы жидкости и газа, возможна также конвекция, то есть перемещение масс жидкости и газа относительно стенок, ограничивающих объем. Конвекция может приводить к перемещению холодных, и нагреты слоев жидкости, то есть к интенсификации теплообмена.

21

а)верхняя нагрета больше нижней (элементарный процесс теплопроводности) б) нижняя нагрета больше верхней (процесс конвективного теплообмена).

Рисунок 3.3 - Температурные поля в зазоре между горизонтальными стенками

При отсутствии конвекции теплопроводность газа и жидкости и температурное поле в них определяются только законом Фурье и условиями однозначности (рисунок 3.3а). Появление конвекции искажает температурное поле (рисунок 3.3б), которое теперь определяется совокупностью закона Фурье и законов конвекции.

В настоящей главе рассматривается только теплообмен теплопроводностью, характерный для твердых тел, а также тел жидких и газообразных в условиях отсутствия конвекции.

3.2 Дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье

Вывод:

Изучение теплообмена теплопроводностью направлено на решение двух задач:

1)каково температурное поле в объекте;

2)каков тепловой поток, проходящий через объект.

Для решения этих задач теория теплопроводности привлекает закон сохранения энергии и закон Фурье. В совокупности эти законы полностью определяют температурное поле и тепловые потоки в теле, если дополнительно заданы условия однозначности.

Уравнение, связывающее закон Фурье и закон сохранения энергии, названо уравнением теплопроводности Фурье. Сущность его вывода состоит в следующем.

Рассмотрим неравномерно нагретое тело с произвольным расположением изотермических поверхностей в данный момент времени τ .

По телу распространяются тепловые потоки плотностью q. Выберем внутри этого тела произвольный объем V, ограниченный поверхностью F.

Рисунок 3.4 - К выводу дифференциального уравнения теплопроводности Фурье

В общем случае суммарный тепловой поток, проникающий внутрь объема через часть поверхности F, частично здесь поглощается или увеличивается и

22

не равен тепловому потоку, выходящему изнутри объема через другую часть

где q и dF - скалярно перемноженные векторы плотности и элемента

поверхности. Знак «минус» является следствием того, что для потока положительным считается направление внутрь тела, а для вектора элемента поверхности это направление отрицательно.

Изменение потока Q внутри объема V приводит к нагреванию или охлаждению объема.

Скорость изменения внутренней энергии элемента объема dV внутри объема V составит величину

dU = cρ ∂∂τt dV ,

где с и ρ - удельная массовая теплоемкость и плотность тела;

∂τ∂t - скорость изменения температуры элемента объема dV.

Для всего объема V скорость изменения внутренней энергии может быть получена интегрированием по объему, ограниченному поверхностью

равняться количеству энергии, подведенной извне к этому объему. Для единичного отрезка времени этот закон выражается равенством:

Подставляя в равенство (3.3) полученные в (3.1) и (3.2) соотношения, выразим закон сохранения энергии в виде связи между скоростью изменения температуры t внутри объема и плотностью потока q на границах объема

∫ cρ ∂∂τt dV + ∫ qdF = 0

V F

23

В полученном выражении плотность тепловых потоков q определяется законом Фурье

q = -l grad t

Тогда закон сохранения (2.3) выразит соотношение между скоростью ¶∂tt

изменения температуры внутри объема V и градиентами температуры на

границе F этого объема:

Чтобы получить окончательное выражение для уравнения теплопроводности Фурье, достаточно второй член равенства (3.4) преобразовать с помощью теоремы Остроградского-Гаусса, которая в векторной форме записывается в виде:

∫ pds = ∫ div p dV

FV

Всоответствии с этой теоремой, подставляя вместо вектора р вектор grad t,

получим

div grad t представляет собой известное в векторном анализе выражение, называемое оператором Лапласа

Подставляя выражения (3.5) и (3.6) в закон сохранения (3.4), получаем

∫ cr ¶∂tt dV - ∫ l Ñ2 t dV = 0

V V

или, поскольку пределы интегрирования по V одинаковы,

24

В связи с тем, что объем, по которому ведется интегрирование, произволен, это выражение справедливо и для каждого элементарного объема, то есть подынтегральное выражение также равно нулю:

Полученное выражение называется дифференциальным уравнением теплопроводности Фурье. Обычно его записывают в виде:

температуропроводности.

3.3Обсуждение дифференциального уравнения теплопроводности

Всоответствии с выражением (3.8) дифференциальное уравнение

теплопроводности Фурье связывает скорость нагрева ¶∂tt любой точки тела с

кривизной Ñ2 t температурного поля в этой точке, иными словами, дает связь между временными и пространственными характеристиками температурного поля.

Полученное дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье представляет собой уравнение второго порядка, так как входящий в него

оператор Лапласа Ñ2 t (3.6) содержит производные второго порядка от температуры по пространственным координатам. При его интегрировании появляются константы интегрирования, для определения которых должны быть заданы условия однозначности. Решение стационарных задач связано с заданием только граничных условий.

Следует сделать несколько дополнительных замечаний, относящихся к полученному дифференциальному уравнению теплопроводности Фурье:

1. Дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье в виде (3.7) и (3.8) справедливо для тел, коэффициент теплопроводности которых постоянен λ =const. При решении многочисленных практических задач это условие вполне допускается. В случае, когда λ существенно изменяется, решение имеет вид, представленный в справочной литературе.

2. При выводе получен новый теплофизический параметр – коэффициент температуропроводности а. С его помощью определяется скорость изменения температуры в различных точках неравномерно нагретого тела. Коэффициент температуропроводности измеряется в м2/сек и приводится в таблицах

25

свойств веществ, наряду с коэффициентом теплопроводности или удельной теплоемкостью.

3. Дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье принимает более сложную форму, если рассматриваемое тело имеет внутренние источники тепла, в частности, химические или электрические. Если эти источники характеризовать плотностью источника или мощностью, выделяемой в единице объема qV, то дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье, выражающее закон сохранения энергии, должно учитывать и эти внутренние источники энергии. В этом случае оно приобретает вид

где с и ρ - удельная теплоемкость и плотность тела.

В частности, если по телу пропускается электрический ток и происходит выделение джоулевой энергии, плотность (мощность в единице объема)

источника представляется в виде

где j – плотность тока, а/м2;

δ- удельная электропроводность, м-1 м-1; I- сила тока, а;

S- сечение, м2.

4. Полученное в (3.7) и (3.8) дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье характеризует нестационарные процессы, при протекании которых температурное поле с течением времени изменяется.

В отличие от этого, практику интересуют также многочисленные случаи стационарных процессов, при протекании которых температурное поле с течением времени не меняются. Стационарные процессы и температурные

поля характеризуются нулевой скоростью изменения температуры: ¶∂tt = 0 , а

дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье (3.8) для стационарного температурного поля характеризует только кривизну поля и принимает вид

Уравнение (3.9) известно в математике под названием «Уравнение Лапласа».

5. Дифференциальный оператор ЛапласаÑ2 t , так же как и оператор grad t в различных системах координат принимает различный вид:

26

в декартовых координатах X, Y, Z

ϕ- долгота, θ - полюсное расстояние.

6.В случае одномерных температурных полей оператор ЛапласаÑ2 t , а следовательно и дифференциальное уравнение теплопроводности Фурье (3.8)

и(3.9) существенно упрощается:

а) для прямоугольной системы координат

б) для цилиндрической системы

в) для сферической системы координат

28

4.3Сферическая стенка

4.4Особенности расчета теплопроводности цилиндрической стенки

Формулы для температурных полей получают наиболее простой вид при условии, что тело ограничено двумя эквидистантными поверхностями – плоскими, цилиндрическими или сферическими, а каждая из поверхностей, ограничивающих тело, поддерживается при одной определенной температуре (совпадает с изотермой).

4.1 Плоская стенка

Рассмотрим плоскую стенку из материала с постоянным коэффициентом теплопроводности λ .

Одна поверхность тела поддерживается при температуре t1, другая (противоположная) – при температуре t2 (рисунок 4.1). Остальные поверхности стенки адиабатически изолированы. Требуется определить температурное поле внутри стенки и плотность теплового потока.

t = t1 при х = х1 t = t2 при х = х2

Рисунок 4.1 - Одномерное температурное поле плоской стенки с постоянным коэффициентом теплопроводности и граничными условиями

Остальные поверхности стенки адиаботически изолированы. Чтобы получить одномерную задачу, следует выбирать прямоугольную

систему координат и расположить ось Х перпендикулярно изотермическим поверхностям стенки, тогда производные вдоль у и z обращаются в нуль:

∂t = ∂t = 0 ∂y ∂z

Кроме того, температуры и потоки стационарны, то есть ∂∂τt = 0

При этих условиях температурное поле стенки описывается дифференциальным уравнением Фурье в виде (смотреть 3.9а).