2.7 Вывод уравнения Бернулли из закона живых сил

Рассмотрим элементарную струйку идеальной жидкости, выделенную в потоке, находящемся в состоянии установившего­ся движения (рисунок 2.5)

Двумя нормальными сечениями 1 и 1 выделим элементар­ный объем

где — площадь живого сечения элементарной струйки; — расстояние между сечениями 1 и 1.

Через промежуток времени объёмом переместится и займет положение между сечениями 2—2'. На рассматриваемый объём жидкости действуют сила тяжести и силы гидродинамического давления. Силы трения в идеальной жидкости отсутствуют. Обозначим гидродинамическое давление в сечениях 1, 2 соответственно через Р₁ и Р₂, а высоту центра тяжести сечений 1, 2 над условной горизонтальной плоскостью сравнения — через Z₁ и Z₂.

Рисунок 2.5

Применим к объему dW закон живых сил, согласно которому приращение живой силы движущейся системы материальных частиц за некоторый промежуток времени равно сумме работ всех сил, действовавших на систему в течение того же времени.

Закон этот символически может быть записан так:

(2.16)

Здесь - живая сила движущейся системы;

— сумма работ всех сил Р на пути s.

Приращение живой силы. Масса нашего элементарного объема

На основании уравнения неразрывности потока

и потому

Приращение живой силы выделенного объема будет

Работа силы тяжести. Вес объема dW равен , а работа силы тяжести при перемещении его из положения 1 в положение 2 будет равна

Работа сил гидродинамического давления. Представим себе, что нвш элементарный объем dW перемещается из положения 1 в положение 2. При перемещении объема из положения 1 в 1' на расстояние работа сил гидродинамического давления по пути перемещения будет для левой грани объема равна

а для правой грани

знак минус здесь взят потому, что сила давления на правую грань объема направлена против перемещения.

Сумма работы сил гидродинамического давления при этом перемещении будет

Таким образом, суммирование работы сил гидродинамического давления при перемещении элементарного объема dW -из положения 1 в положение 2 даст

Приравняв приращение живой силы сумме работ всех сил, получим

Сократив все члены уравнения на и отнеся, таким образом, все к единице веса жидкости, получим

откуда

Так как вместо второго сечения по длине элементарной струйки можно взять любое иное, то очевидно, что для любой пары сечений по длине элементарной струйки идеальной жидкости можем написать

(2.17)

Это и есть уравнение Бернулли, полученное из закона живых сил.

2.8 Геометрическая, энергетическая и механическая сущность уравнения Бернулли

Всем членам уравнения Бернулли можно дать объяснение с геометрической, гидравлической и физической точек зрения. Для более наглядного представления на рисунке 2.6 изобразим члены уравнения Бернулли для элементарной струйки графически. Возьмем элементарную струйку с осью S - S и проведем два сечения: 1 - 1 и 2 - 2. Если в сечениях 1 - 1 и 2 - 2 вставить пьезометрические трубки (пьезометры), то по ним жидкость поднимется над центрами тяжести сечений: в первом сечении на высоту и во втором сечении на высоту Высоты и называются пьезометрическими. Как уже ранее говорилось, при помощи пьезометров можно определить гидродинамическое давление в месте присоединения трубки. Гидродинамическое давление будет равно произведению объемного веса жидкости на пьезометрическую высоту .

Если же в элементарную струйку в сечениях 1 - 1 и 2 - 2 вставить так называемые скоростные трубки с загнутыми концами, направленными против течения, то жидкость в этих трубках поднимется над центрами тяжести тех же сечений: в первом сечении на высоту

во втором сечении на высоту

Почему жидкость дополнительно поднимется именно на высоту можно наиболее просто доказать так. Частицы жидкости с высоты h по закону Торичелли будут падать со скоростью свободного падения равной , откуда высота

Таким образом, в скоростных трубках с загнутыми концами жидкость поднялась на дополнительную высоту в сечений 1 - 1, равную в сечении 2 - 2 на высоту, равную . Поднятие жидкости на дополнительную высоту в скоростных трубках произошло потому, что движущиеся частицы жидкости, набегая на входные концы трубок со скоростью и , производят дополнительное давление на неподвижную жидкость в скоростных трубках, для уравновешивания которого жидкость в трубках должна подняться на такую дополнительную высоту, при которой вес столбиков жидкости будет равен указанному дополнительному давлению. Высоты, равные или , называются скоростными напорами, или скоростными высотами.

Итак, с геометрической точки зрения члены уравнения Бернулли мы можем именовать:

и-скоростные напоры (высоты), на которые поднялась жидкость в скоростных трубках в соответствующих сечениях;

и - пьезометрические высоты соответственно в сечениях 1 - 1 и 2 - 2;

z₁и z₂ - геометрические высоты центров тяжести сечений элементарной струйки над плоскостью сравнения 0 - 0 соответственно в сечениях 1 - 1 и 2 - 2.

Все члены уравнения Бернулли имеют линейную размерность. Скоростной напор

Пьезометрическая высота

Геометрическая, или геодезическая, высота z₁ центра тяжести живого сечения элементарной струйки над плоскостью сравнения имеет также линейную размерность.

Энергетическая (физическая) сущность уравнения Бернулли состоит в том, что оно выражает закон сохранения энергии элементарной струйки

Левая часть уравнения Бернулли представляет собой полную удельную энергию элементарной струйки в сечении 1 - 1, которая равна полной удельной энергии элементарной струйки в сечении 2 - 2 и является величиной постоянной (рисунок 2.6).

Рисунок 2.6

Удельной энергией называется энергия, отнесенная к единице веса жидкости. Рассмотрим, что представляют собою все члены уравнения Бернулли с физической или с энергетической точки зрения:

и- удельная кинетическая энергия (энергия движе­ния) элементарной струйки соответственно в сечениях 1 - 1 и 2 - 2;

- удельная потенциальная энергия элементарной струйки соответственно в сечениях 1 - 1 и 2 - 2;

и- удельная потенциальная энергия давления в соответствующих сечениях; ее величина зависит от высоты столба жидкости в пьезометре, который находится над центром тяжести рассматриваемого сечения струйки;

и- удельная потенциальная энергия положения; ее величина зависит от положения центра тяжести рассматриваемого сечения над плоскостью сравнения 0 - 0.

Механическую сущность уравнения Бернулли можно кратко пояснить так: работа силы тяжести и силы давления равна изме­нению кинетической энергии в сечениях 2 - 2 и 1 - 1. С механической точки зрения члены уравнения Бернулли имеют следующий смысл:

(—) - работа сил тяжести на единицу веса жидкости;

- работа сил давления на единицу веса жидкости;

- изменение кинетической энергии на единицу веса жидкости.

Соединив концы пьезометрических высот в пьезометрических трубках линией Р - Р, получим кривую, которая называется пьезометрической линией. Если соединим горизонты жидкости в скоростных трубках линией N - N, то получим линию, параллельную плоскости сравнения 0 - 0. Линия N - N называется напорной линией. Таким образом, из рисунка 2.6 видно, что полная удельная энергия элементарной струйки (или гидродинамический напор) на рассматриваемом участке от сечения 1 - 1 до сечения 2 - 2 есть величина постоянная. В этом и состоит закон сохранения энергии, выраженный уравнением Бернулли. Следует указать, что полная удельная энергия элементарной струйки есть величина постоянная для всех рассматриваемых сечений, но удельная потенциальная и удельная кинетическая энергии в различных сечениях могут быть различными.