1.10 Сила давления покоящейся жидкости на плоскую поверхность

Определим силу, с которой покоящаяся жидкость воздействует на плоскую поверхность (рисунок 1.14), наклоненную к горизонту под углом .

Выделим на этой поверхности участок произвольной формы площадью . Во всех точках этого участка действует гидростатическое давлениер, направленное по нормали к плоскости поверхности, и, в соответствие с основным уравнением гидростатикир=р_о+h, тем больше по величине, чем глубже под свободной поверхностью жидкости находится рассматриваемая точка. Полную силу давления жидкости на площадьнайдем путем суммирования всех элементарных сил давления, параллельных друг другу.

Для определения суммарной силы давления Fна участок плоской поверхностии точки приложения этой силы (центр давления) возьмем систему координатных осей. За начало системы примем точку пересечения плоской поверхности со свободной поверхностью жидкости. ОсьХнаправим по линии пересечения плоской поверхности со свободной поверхностью жидкости, а осьY– под прямым углом к ней в плоскости плоской поверхности.

Для удобства и наглядности последующих рассуждений повернем плоскую поверхность вокруг оси Yдо совмещения ее с плоскостью чертежа. В повернутом положении осьХзаймет положениеХ, перпендикулярное осиY, и рассматриваемый участок плоской поверхностибудет изображаться на чертеже в натуральную величину.

В пределах площади выделим элементарную площадкуdс глубиной погружения ее центра на величинуh.

Элементарная сила dF, действующая на эту площадку

dF=p_c d.

где p_с– среднее гидростатическое давление в пределах площадкиd.

Так как размеры площадки dбесконечно малы, то можно принять среднее давлениеp_сравным давлению в центре этой площадкиp.

Учитывая это, элементарная сила dFзапишется как

dF=pd=(p_o+h)d. (1.42)

Из чертежа видно, что

h=ysin,

и тогда уравнение ( 1.42) можно записать так:

dF=p_оd+ ysinαd.

Интегрируя это выражение по всей площади получим

F=.

Первый интеграл в правой части равен площади , а второй представляет известное выражение статического моментаS_xплощадиотносительно осиХ

S_x=y_c,

где y_c- координата центра тяжести площади.

Тогда

F=,

где y_csin=h_cи поэтому

F=. (1.43)

При р₀=р_атмсила избыточного давления

F=. (1.44)

Следовательно, полная сила гидростатического давления на плоскую поверхность равна произведению площади плоской поверхности на гидростатическое давление в ее центре тяжести.

1.11 Центр давления и определение его положения

Большой практический интерес представляет местоположение точки приложения силы суммарного гидростатического давления. Эта точка называется центром давления.

В соответствии с основным уравнением гидростатики сила давления F₀=p₀·ω, действующая на поверхность жидкости, равномерно распределяется по всей площадке, вследствие чего точка приложения суммарной силы поверхностного давления совпадает с центром тяжести площадки. Место приложения суммарной силы избыточного гидростатического давления, неравномерно распределяющегося по площади, не будет совпадать с центром тяжести площадки.

При р₀=р_атмположение центра давления зависит только от величины силы избыточного давления, поэтому положение (ординату) центра давления будем определять с учетом только этой силы. Для этого воспользуемся теоремой моментов: момент равнодействующей силы относительно произвольной оси равен сумме моментов составляющих ее сил относительно той же оси. За ось моментов примем линию уреза жидкостиОХ´(рисунок 1.14).

Составим уравнение равновесия момента равнодействующей силы Fи моментов составляющих силdF, т.е.М_р=М_сс:

М_р=F·y_цд;dM_cc=dF·y. (1.45)

В формулах (1.45)

(1.46)

(1.47)

где – момент инерции площадки относительно осиХ.

Тогда момент составляющих сил

М_сс=γ·sinα·I_x.

Приравнивая значения моментов сил М_риМ_сс, получим

,

откуда

. (1.48)

Момент инерции I_xможет быть определен по формуле

I_x=I₀+ω·, (1.49)

где I₀– момент инерции смоченной фигуры, вычисленный относительно оси, проходящей через центр ее тяжести.

Подставляя значение I_хв формулу (1.48) получим

. (1.50)

Следовательно, центр избыточного гидростатического давления расположен ниже центра тяжести рассматриваемой площадки на величину .

Поясним использование полученных выше зависимостей на следующем примере. Пусть на плоскую прямоугольную вертикальную стенку высотой hи ширинойbдействует жидкость, глубина которой перед стенкой равнаh.

Избыточную силу гидростатического давления на стенку установим по формуле (1.44).

Координату центра давления определяем относительно линии уреза жидкости. Тогда

так как момент инерции прямоугольной фигуры равен .

Таким образом, для прямоугольной плоской фигуры центр давления смещен по отношению к центру тяжести на h/6 и находится на глубинеот линии уреза жидкости.