1. 14. 3 Равновесие плавающего тела частично погруженного в жидкость

Когда вес погруженного в жидкость тела Gоказывается меньшеподъемной силыF, тело всплывает. Всплывание тела продолжается до тех пор, пока существует неравенствоG.

Представим себе находящееся в равновесии плавающее тело, которое имеет вертикальную ось симметрии KN(рисунок 1. 22а).

Линию WL, по которой свободная поверхность жидкости пересекает поверхность плавающего тела, называютватерлинией. Сечение тела по вертикали называютплоскостью плавания. Центр водоизмещения находится в точкеВ– центре тяжести вытесненного телом объемаWKL, лежащего под ватерлиниейWLи равногоV. Центр тяжести самого плавающего тела пусть находится в точкеС– выше центра водоизмещенияВ, обе точкиС иВрасположены в плоскости симметрииKN, и так как последняя при равновесии предположена вертикальной, то вертикальна и ось плавания, и тело находится в равновесии. На рисунке 1. 22аэто равновесное положение показано пунктиром.

Рисунок 1.22

Следует заметить, что вопрос о выяснении условий устойчивого равновесия плавающего тела, в частности, судов, вообще весьма сложен и рассматривается в специальных курсах, здесь же мы лишь кратко рассмотрим упрошенное исследование этого вопроса.

Предположим, что плавающее тело вследствие какой-либо внешней причины вышло из положения равновесия так, что егостарая плоскость плавания WLсоставляет некоторый уголсновой ватерлинией W₁L₁или сгоризонталью 00.

Для простоты примем, как это часто имеет место в действительности, что борта нашего плавающего тела близ ватерлинии параллельны и что угол крена невелик. Тогда линия пересечения плоскостейWLиW₁L₁будет лежать в плоскости симметрииKN. В этом новом положении плавающее тело вытесняет новый объемW₁KL₁, который должен равняться прежнемуWKL, так как оба они должны давать одинаковые подъемный силы, равная каждая неизменившемуся весуGсамого плавающего тела. С изменением формы погруженного объема его центр тяжести должен переместиться. Пусть новое положение центра тяжести погруженного объемаW₁KL₁есть точкаВ₁, которая будет также и новым центром водоизмещения, другими словами, вВ₁будет приложена подъемная силаF=действующая вертикально вверх.

Продолжим линию действия подъемной силы Р до пересечения ее с начальной осью плавания KNв точкеМ. ТочкаМназывается метацентром. Расстояние от метацентраМдо центра водоизмещенияВ– отрезокМВ–называют метацентрическим радиусом и обозначают буквой(по дуге, описанной метацентрическим радиусом при крене, перемещается центр водоизмещения).

Расстояние от метацентра Мдо центра тяжестиС – отрезокМС – называютметацентрической высотойи обозначают буквойh.

Обозначим через а– разность ординат положения центров тяжестиZ_Gи водоизмещенияZ_Bнад плоскостью днища (основания) плавающего тела

a=Z_G–Z_B.

Рассматривая рисунок 1.22 видим, что от взаимного расположения центра тяжести плавающего тела и метацентра зависит остойчивость плавающего тела или его способность возвращаться из данного накрененного положения в нормальной положение устойчивого равновесия.

И здесь могут быть три случая (рисунок 1.22, положения а,б,в):

Если метацентр М, считая по оси плавания, лежит выше центра тяжестиСтела, то пара сил (G,F=) стремится вернуть тело в его прежнее положение, и тело окажется в условииустойчивого равновесия. При этом

ВМВСиСМ0.

Если метацентр Мна оси плавания окажется ниже центра тяжестиСтела, то, наоборот, силыGиF=будут еще сильнее увеличивать крен тела и создадут для него условиянеустойчивого равновесия. Тело будет искать новое положение равновесия – устойчивое (и перевернется). В этом случае

ВМВСиСМ0.

Если метацентр Ми центр тяжестиСтела совпадают, то тело будет находиться в состояниибезразличного равновесия, например, плавающий однородный цилиндр или шар. Этому соответствует

ВМ=ВСиСМ=0.

Из только что рассмотренного ясно, что при данном крене остойчивость плавающего тела, т.е. стремление его вернуться в положение равновесия, зависит от величины момента действующей при этом пары сил тяжести Gи подъемной Р, или при данном водоизмещении – от плеча этой парыСЕ, которое в свою очередь может быть выражено через метацентрическую высотуh.

,

где СЕ=МСsin,

а так как МС=hиF=, то момент остойчивости можно записать как

М_о=hsin.

Поэтому естественно, что величину метацентрической высоты принято считать мерой остойчивости плавающего тела.

Из рисунка 1.22 видно, что метацентрическую высоту h(отрезокМС) можно выразить как разность метацентрического радиуса(отрезокМВ) и величиныа(отрезокСВ)

H=a. (1.57)

Рассмотрим определение величины метацентрического радиуса , полагая, что тело накренилось на некоторыйнебольшойугол(15). Для этого воспользуемся рисунком 1.23.

Рисунок 1.23

На рисунке 1.23 точка В– центр водоизмещение при нахождении плавающего тела в равновесии, когда плоскостьKNвертикальна; точкаВ₁новое положение центра водоизмещения при крене тела на угол. ТочкаС– центр тяжести тела.

Представим, что к плавающему телу в точке В приложены две вертикальные, противоположно направленные силы, равные каждаяG=V, отчего, конечно, в состоянии тела ничего не изменится.

Рассматривая силу G, приложенную в точкеС, и силу (–G), приложенную в точкеВ, видим, что они дают пару сил с плечоме, стремящуюся увеличить крен тела. Две другие силыF=– в точкеВ₁и +G– в точке составляют другую пару с плечоме₁, которая стремится восстановить прежнее положение равновесия тела.

Появление этой восстанавливающей пары сил есть следствие того, что при крене левая клинообразная часть тела SWW₁вышла из жидкости, а правая –SLL₁– погрузилась в жидкость. Левый клин, не будучи более погруженным в жидкость, не воспринимает более соответствующей ему подъемной силыQ₁=_SWW1, т.е. стал как бы наQ₁тяжелее. Одновременно правый клин, погрузившись в жидкость, начал испытывать действие подъемной силыQ₂=_SLL1, т.е. стал как бы наQ₂легче. Как было выяснено выше, оба клинаSWW₁иSLL₁имеют одинаковые объемы, а потому силыQ₁иQ₂равны между собой:Q₁= Q₂= Q. Как подъемные силы они вертикальны, и их точки приложения находятся в центрах тяжести клинов, горизонтальное расстояние между которыми обозначим черезl.

Учитывая приведенные выше рассуждения видим, что пара сил (G;F=) равноценна паре сил (Q;Q) и их моменты равны. Следовательно можно написать

Ql=Ge₁=·,

или учитывая, что

Ql= ·. (1.58)

Q– есть вес жидкости в объеме клинаSWW₁иSLL₁, и его можно выразить следующим образом. Возьмем на плоскости плаванияWLэлемент площадиd, находящийся на расстоянииxот оси, около которой происходит поворот тела при крене, т.е. от оси, нормальной к плоскости чертежа и пересекающей эту плоскость в точкеS. Элементарный цилиндр, построенный на основанииd, будет иметь объем

dxtg.

Вес жидкости в объеме такого элементарного цилиндра будет равен

dxtg,

а момент этого веса относительно оси Sнапишется

dx²tg.

Учитывая, что вес всего клина SLL₁ есть сумма весов элементарных цилиндров, и зная из механики, что момент силы равнодействующей относительно какой-либо оси равен сумме моментов сил составляющих, а также то, что вместо моментаQlможно взять сумму моментов относительно осиSсил (+Q) и (–Q), можно написать

. (1.59)

Следует иметь ввиду, что интегрирование должно быть распространено на всю плоскость ватерлинии WL.

Полученный интеграл =J– моменту инерции площади ватерлинии относительно оси качания телаS, нормальной к плоскости чертежа и проходящей через центр тяжести площади ватерлинии.

Из уравнений (1.58) и (1.59) определяем

.

Учитывая, что при малых углах 

tgsin,

метацентрический радиус определится как

. (1.60)

Для определения входящей в выражение (1.57) метацентрической высоты величины а, так же используем положение механики о равенстве момента равнодействующей сумме моментов ее составляющих

a=Z_G–Z_B

откуда ;

откуда ;

где G - полный вес плавающего тела;

Z_G- ордината центра тяжести телаС над плоскостью днища;

G_iиZ_Gi- соответственно веса отдельных частей плавающего тела и ординаты их центров тяжести;

V- объем погруженной в жидкость части плавающего тела;

Z_B - ордината центра водоизмещения;

G_iиZ_Gi- соответственно объемы отдельных элементов общего объемаVи ординаты их центров над плоскостью днища.

Учитывая все вышеизложенное, выражение возникающего при крене момента остойчивостив окончательном виде будет

. (1.61)

При этом для устойчивого равновесия необходимо соблюдение условия

0. (1.62)

Так как положительное слагаемое пропорциональноJ, то минимальное значениеhбудет при наименьшем моменте инерции площади ватерлинии, при крене около той оси, относительно которой площадь ватерлинии имеет этот минимальный момент инерции.

Заметим, что в судовой практике величина метацентрической высоты hразлична, и зависит от типа судна, достигая вообще примерно 1,5 м.