- •Министерство образования и науки
- •1. Вычислить неопределенный интеграл.
- •2. Вычислить неопределенный интеграл.
- •3. Вычислить неопределенный интеграл.
- •4. Вычислить неопределенный интеграл.
- •5. Проинтегрировать дробно-рациональную функцию.
- •6. Вычислить неопределенный интеграл.
- •7. Вычислить неопределенный интеграл.
- •8. Вычислить определенный интеграл.
- •9. Вычислить определенный интеграл.
- •10. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными в декартовых координатах. Сделать чертеж.
- •11. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными параметрическими уравнениями. Сделать чертеж.
- •12. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными в полярных координатах. Сделать чертеж.
- •13. Вычислить длины дуг кривых, заданных параметрическими уравнениями.
- •14. Вычислить объемы тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций.
- •15. Выяснить сходимость несобственного интеграла.
- •Методические указания к выполнению индивидуальных домашних заданий
- •Неопределенный интеграл
- •Основные методы интегрирования.
- •1) Подынтегральная функция является произведением многочлена на показательную или тригонометрическую функцию.
- •2) Подынтегральная функция является произведением многочлена на логарифмическую или обратную тригонометрическую функцию.
- •3) Интегралы вида: ,.
- •1) Интегралы вида , где m и n- целые числа.
- •2) Интегралы вида , гдеивходят в подынтегральную рациональную функцию, только в четных степенях.
- •3) Интегралы вида , гдеивходят в подынтегральную рациональную функцию в нечетных степенях.
- •2) Если в подынтегральную функцию входят радикалы с разными показателями вида , и т.Д. Или,и т.Д.
- •3) Интеграла вида .
- •4) Тригонометрические подстановки.
- •Определенный интеграл и его приложения
- •Несобственный интеграл
1) Интегралы вида , где m и n- целые числа.
Рассмотрим два случая:
а) Среди чисел m, n есть хотя бы одно нечетное. Тогда отделяем от нечетной степени один сомножитель и выражаем с помощью формулы оставшуюся функцию в четной степени. Вводим новую переменную и приходим к табличному интегралу.
Пример. .
Решение.
.
б) Оба числа m, n- четные неотрицательные.
Применим формулы:
.
Пример..
Решение.
.
2) Интегралы вида , гдеивходят в подынтегральную рациональную функцию, только в четных степенях.
Делается замена: .
При этом .
Пример..
Решение.
.
3) Интегралы вида , гдеивходят в подынтегральную рациональную функцию в нечетных степенях.
Делается универсальная тригонометрическая подстановка:. В результате сводится к интегралу от рациональной дроби.
При этом .
Пример. .
Решение.
.
Приводим к общему знаменателю подынтегральную функцию. А поскольку дроби равны и их знаменатели равны, то равны и числители:
.
Два многочлена равны, когда равны коэффициенты при соответствующих степенях:
.
Получаем:
.
Задание 7. Интегрирование иррациональных выражений.
Рассмотрим некоторые типы интегралов, которые надлежащей подстановкой могут быть сведены к интегралам от рациональных функций, а, следовательно, могут быть выражены через элементарные функции. Пусть R(u) — рациональная функция переменной u. Возможны несколько случаев.
1) Интегралы вида: и, где и– рациональные функции оти, соответственно, а— натуральное число.
С помощью подстановок иуказанные интегралы сводятся к интегрированию рациональных функций отt и z, соответственно.
Пример..
Решение. Сделаем замену , откуда,. В результате получим:
.
Исходный интеграл сведен к интегралу от рациональной функции – неправильной дроби, которую интегрируем с помощью выделения ее целой части:
.
Таким образом, , где.
Пример..
Решение.
Полагая , имеем,,.
Откуда:
.
Таким образом, мы пришли к интегралу от рациональной функции переменной t, представленной неправильной дробью. Интегрируем ее методом выделения целой части:
.
Таким образом, , где.
Пример..
Решение. Сделаем замену , откуда,,.
Имеем:
, где .
2) Если в подынтегральную функцию входят радикалы с разными показателями вида , и т.Д. Или,и т.Д.
Сводим к интегрированию рациональных функций от переменных tи z с помощью подстановок исоответственно, гдеk - наименьшее общее кратное показателей корней, т.е. чисел n, p, …
Пример..
Решение. Показатели радикалов подынтегральной функции равны 2 и 3. Их наименьшее общее кратное (наименьшее число, которое делится на 2 и на 3) равно 6. Поэтому произведем замену переменной . Тогда,,, .
Следовательно,
, где .
Пример..
Решение. Показатели радикалов подынтегральной функции равны 2 и 4. . Поэтому производим замену переменной. Тогда,.
Следовательно,
, где .
3) Интеграла вида .
—рациональная функция от и,- натуральное число и выполнено неравенство.
С помощью замены переменной нахождение такого интеграла сводится к интегрированию рациональной функции отt .
Пример..
Решение. Положим , откуда,,,.
Следовательно,
,
где .
Пример..
Решение. Полагая , имеем,,.
Тогда
, где .
4) Тригонометрические подстановки.
Интегралы ,,приводятся к интегралам от рациональных функций относительноис помощью следующих тригонометрических подстановок:
для интеграла :;
для интеграла :;
для интеграла :.
Пример..
Решение. Это интеграл второго типа. Поэтому применим подстановку .
Тогда .
.
Следовательно,
, где .
Пример..
Решение. Этот интеграл первого типа и поэтому применим подстановку .
Тогда ,.
Следовательно,
, где .