Основные методы интегрирования.
Задание 1. Непосредственное интегрирование.
Непосредственное интегрирование предполагает использование свойств неопределенного интеграла, таблицы интегралов и различных формул из элементарной математики.
Пример.
.
Решение. Воспользуемся формулой сокращенного умножения (квадрат суммы), свойствами степеней, свойствами 3-4 и формулой 1 таблицы интегралов:
Пример.
.
Решение. Преобразуем подынтегральную функцию:
.
Следовательно, используя формулы 7 и 8 таблицы интегралов, получим:
Пример.
.
Решение. Преобразуем подынтегральную функцию, раскрыв скобки, и воспользуемся формулами 2 и 4 таблицы интегралов:
.
Задание 2. Интегралы с квадратным трехчленом.
Интегралы
с квадратным трехчленом - это интегралы
вида:
,
,
.
Для
вычисления этих интегралов необходимо
выделить в квадратных трехчленах
знаменателей полный квадрат. В первых
двух случаях квадратный трехчлен
перепишется в виде:
,
в третьем случае он будет иметь вид:
.
В результате интегралы сводятся к
табличным интегралам.
Замечание.
Если коэффициент при
в квадратных трехчленах не равен 1, то
его предварительно нужно вынести за
знак интеграла.
Пример.
.
Решение. Выделим полный квадрат в знаменателе и воспользуемся формулой 10 таблицы интегралов:
Пример.
.
Решение.
Выделим полный квадрат в подкоренном
выражении и воспользуемся формулой 14
таблицы интегралов:
.
Пример.
.
Решение. Выделим полный квадрат в подкоренном выражении и воспользуемся формулой 12 таблицы интегралов:
.
Задание 3. Замена переменной.
Пусть
требуется найти интеграл с непрерывной
подынтегральной функцией
.
Сделаем
замену переменных, положив
,
где функция
удовлетворяет следующим двум условиям:
1)
непрерывная функция;
2)
непрерывно дифференцируемая функция,
имеющая обратную функцию.
Тогда
.
После интегрирования возвращаются к старой переменной обратной подстановкой.
Пример.
.
Решение.
.
Пример.
.
Решение.
.
Пример.
.
Решение.
Полагая
и продифференцировав обе части этого
равенства, получаем:
или
.
Тогда первоначальный интеграл равен:
.
Пример.
.
Решение.
.
Задание 4. Интегрирование по частям.
Интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формуле:
,
где
и
— непрерывно дифференцируемые функции
от
.
С помощью этой формулы нахождение
интеграла
сводится к отысканию другого интеграла
.
Ее применение целесообразно в тех
случаях, когда последний интеграл либо
проще исходного, либо ему подобен.
Применяется формула в следующих случаях:
1) Подынтегральная функция является произведением многочлена на показательную или тригонометрическую функцию.
Это
интегралы вида:
,
,
.
В
этом случае в качестве
выбирается многочлен
.
Пример.
.
Решение.
Подынтегральная функция есть произведение
многочлена на тригонометрическую
функцию (1 случай). Поэтому в качестве
выбирается многочлен.
.
2) Подынтегральная функция является произведением многочлена на логарифмическую или обратную тригонометрическую функцию.
Это
интегралы вида:
,
,
,
,
.
В
качестве
следует принимать обратную тригонометрическую
или логарифмическую функцию.
Пример.
.
Решение.
Подынтегральная функция есть
логарифмическая функция (2 случай).
Поэтому в качестве
выбирается логарифмическая функция.
.