- •Министерство образования и науки
- •1. Вычислить неопределенный интеграл.
- •2. Вычислить неопределенный интеграл.
- •3. Вычислить неопределенный интеграл.
- •4. Вычислить неопределенный интеграл.
- •5. Проинтегрировать дробно-рациональную функцию.
- •6. Вычислить неопределенный интеграл.
- •7. Вычислить неопределенный интеграл.
- •8. Вычислить определенный интеграл.
- •9. Вычислить определенный интеграл.
- •10. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными в декартовых координатах. Сделать чертеж.
- •11. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными параметрическими уравнениями. Сделать чертеж.
- •12. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными в полярных координатах. Сделать чертеж.
- •13. Вычислить длины дуг кривых, заданных параметрическими уравнениями.
- •14. Вычислить объемы тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций.
- •15. Выяснить сходимость несобственного интеграла.
- •Методические указания к выполнению индивидуальных домашних заданий
- •Неопределенный интеграл
- •Основные методы интегрирования.
- •1) Подынтегральная функция является произведением многочлена на показательную или тригонометрическую функцию.
- •2) Подынтегральная функция является произведением многочлена на логарифмическую или обратную тригонометрическую функцию.
- •3) Интегралы вида: ,.
- •1) Интегралы вида , где m и n- целые числа.
- •2) Интегралы вида , гдеивходят в подынтегральную рациональную функцию, только в четных степенях.
- •3) Интегралы вида , гдеивходят в подынтегральную рациональную функцию в нечетных степенях.
- •2) Если в подынтегральную функцию входят радикалы с разными показателями вида , и т.Д. Или,и т.Д.
- •3) Интеграла вида .
- •4) Тригонометрические подстановки.
- •Определенный интеграл и его приложения
- •Несобственный интеграл
3) Интегралы вида: ,.
Метод интегрирования по частям применяется два раза до появления исходного интеграла. Оба раза в качестве берем либо, либо тригонометрическую функцию. Получаем уравнение относительно исходного интеграла и решаем его.
Пример..
Решение. Это интеграл вида: (3 случай). Поэтому в качествевыберем.
.
Обозначим исходный интеграл .
Получим уравнение:
;
;
.
Таким образом, .
В некоторых случаях метод интегрирования по частям надо применять неоднократно.
Пример..
Решение.
.
Задание 5. Интегрирование рациональных дробей.
Выражения вида ;, гдеа вещественное, k,l натуральные числа, а квадратный трехчлен не имеет действительных корней, назовемпростейшими сомножителями.
Известна основная теорема алгебры: любой многочлен степениn можно разложить в произведение простейших сомножителей:
,
где число; .
Дроби вида , гдеk, l натуральные числа, простейший сомножитель, будем называть простейшими рациональными дробями.
Дробь называетсяправильной, если (m и nстепени многочленов, стоящих в числителе и в знаменателе, соответственно). Если , дробь называетсянеправильной.
Каждую неправильную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной дроби:.
Теорема. Любая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы простейших рациональных дробей.
Эта сумма строится следующим образом в два этапа:
1) каждый простейший множитель вида порождает следующую сумму изслагаемых:
;
2) каждый сомножитель вида порождает следующую сумму изслагаемых:
.
В результате мы получим следующее разложение правильной дроби на простейшие:
.
Пример. Разложить дробь на простейшие дроби.
Решение. Так как дробь является неправильной, то сначала выделим целую часть (для этого достаточно найти частное и остаток от деления числителя на знаменатель):
.
Разложим знаменатель на простейшие сомножители:
.
Тогда
;
.
Две дроби, имеющие одинаковые знаменатели, равны, значит равны их числители:
.
Два многочлена тождественно равны тогда, когда у них совпадают коэффициенты при одинаковых степенях , следовательно, можно записать следующую систему уравнений:
.
Решая ее, находим: .
Окончательно получим: .
Из разложения следует, что интегрирование правильных рациональных дробей сводится к интегрированию простейших дробей.
Интегрирование простейших дробей:
I. ;
II. ;
III. .
Этот интеграл вычисляется методом выделения полного квадрата.
IV. , квадратный трехчленне имеет действительных корней.
Первый интеграл берётся заменой:
,
второй интеграл вычисляется по формуле:
В результате получили формулу, в которой подынтегральное выражение имеет степень на единицу меньше. К нему вновь применяем ту же формулу пока не получим в знаменателе степень равную единице.
Пример..
Решение. Подынтегральная дробь является правильной, так как степень многочлена в числителе меньше, чем в знаменателе. Разложим подынтегральное выражение на простейшие дроби:
.
Составим систему уравнений для нахождения неизвестных коэффициентов:
.
Отсюда .
Следовательно, .
Теперь вычислим исходный интеграл:
.
Пример..
Решение. Сначала разложим дробь на простейшие:
.
.
.
Решая систему, получим: .
Тогда исходный интеграл примет вид:
.
Пример..
Решение. Так как дробь является неправильной, то сначала выделим целую часть. В результате получим:
.
Теперь вычислим интеграл:
.
Пример..
Решение. Подынтегральная дробь является правильной, так как степень многочлена в числителе меньше, чем в знаменателе. Разложим дробь на простейшие:
.
.
.
Решая систему, получим: .
Тогда исходный интеграл примет вид:
.
Задание 6. Интегрирование тригонометрических выражений.
Пусть — рациональная функция своих аргументов.