- •Министерство образования и науки
- •1. Вычислить неопределенный интеграл.
- •2. Вычислить неопределенный интеграл.
- •3. Вычислить неопределенный интеграл.
- •4. Вычислить неопределенный интеграл.
- •5. Проинтегрировать дробно-рациональную функцию.
- •6. Вычислить неопределенный интеграл.
- •7. Вычислить неопределенный интеграл.
- •8. Вычислить определенный интеграл.
- •9. Вычислить определенный интеграл.
- •10. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными в декартовых координатах. Сделать чертеж.
- •11. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными параметрическими уравнениями. Сделать чертеж.
- •12. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными в полярных координатах. Сделать чертеж.
- •13. Вычислить длины дуг кривых, заданных параметрическими уравнениями.
- •14. Вычислить объемы тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций.
- •15. Выяснить сходимость несобственного интеграла.
- •Методические указания к выполнению индивидуальных домашних заданий
- •Неопределенный интеграл
- •Основные методы интегрирования.
- •1) Подынтегральная функция является произведением многочлена на показательную или тригонометрическую функцию.
- •2) Подынтегральная функция является произведением многочлена на логарифмическую или обратную тригонометрическую функцию.
- •3) Интегралы вида: ,.
- •1) Интегралы вида , где m и n- целые числа.
- •2) Интегралы вида , гдеивходят в подынтегральную рациональную функцию, только в четных степенях.
- •3) Интегралы вида , гдеивходят в подынтегральную рациональную функцию в нечетных степенях.
- •2) Если в подынтегральную функцию входят радикалы с разными показателями вида , и т.Д. Или,и т.Д.
- •3) Интеграла вида .
- •4) Тригонометрические подстановки.
- •Определенный интеграл и его приложения
- •Несобственный интеграл
11. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными параметрическими уравнениями. Сделать чертеж.
1., |
2., |
3., |
4. , |
5. , |
6., |
7., |
8., |
9.,
|
10.,
|
11. , |
12., |
13., |
14. , |
15. ,
|
16.,
|
17., |
18. , |
19.,
|
20.,
|
21.,
|
22.,
|
23.,
|
24.,
|
25.,
|
26.,
|
27., |
28., |
29., |
30.,
|
12. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, заданными в полярных координатах. Сделать чертеж.
1. |
2. |
3. |
4. |
5. |
6. |
7. |
8. |
9. |
10. |
11. |
12. |
13. |
14. |
15. |
16. |
17. |
18. |
19. |
20. |
21. |
22. |
23. |
24. |
25. |
26. |
27. |
28. |
29. |
30. |
13. Вычислить длины дуг кривых, заданных параметрическими уравнениями.
1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. ;
6. ;
7. ;
8. ;
9. ;
10. ;
11. ;
12. ;
13. ;
14. ;
15. ;
16. ;
17. ;
18. ;
19. ;
20. ;
21. ;
22. ;
23. ;
24. ;
25. ;
26. ;
27. ;
28. ;
29. ;
30. .
14. Вычислить объемы тел, образованных вращением фигур, ограниченных графиками функций.
1. ,, ось вращенияOX.
2. ,, ось вращенияOY.
3. ,, ось вращенияOX.
4. ,, ось вращенияOY.
5. ,, ось вращенияOX.
6. ,, ось вращенияOY.
7. ,, ось вращенияOX.
8. ,,, ось вращенияOY.
9. ,, ось вращенияOX.
10. ,,,, ось вращенияOY.
11. ,, ось вращенияOX.
12. ,, ось вращенияOY.
13. ,, ось вращенияOX.
14. ,, ось вращенияOY.
15. ,, ось вращенияOX.
16. ,, ось вращенияOY.
17. ,, ось вращенияOX.
18. ,,,, ось вращенияOY.
19. ,, ось вращенияOX.
20. ,, ось вращенияOY.
21. ,, ось вращенияOX.
22. ,, ось вращенияOY.
23. ,, ось вращенияOX.
24. ,, ось вращенияOY.
25. ,, ось вращенияOX.
26. ,, ось вращенияOY.
27. ,, ось вращенияOX.
28. ,, ось вращенияOY.
29. ,, ось вращенияOX.
30. ,, ось вращенияOY.
15. Выяснить сходимость несобственного интеграла.
1. ; |
2. ; |
3. ; |
4. ; |
5. ; |
6. ; |
7. ; |
8. ; |
9. ; |
10. ; |
11. ; |
12. ; |
13. ; |
14. ; |
15. ; |
16. ; |
17. ; |
18.; |
19. ; |
20. ; |
21.; |
22. ; |
23. ; |
24. ; |
25. ; |
26. ; |
27. ; |
28. ; |
29. ; |
30. . |
Методические указания к выполнению индивидуальных домашних заданий
Неопределенный интеграл
Функция называетсяпервообразной функции на некотором интервале, еслидля всех значений. Если— первообразная, то очевидно, что бесконечное множество всех первообразных, отличающихся только константой, также будет первообразной. Множество всех первообразных функцийназываетсянеопределенным интегралом от функции и обозначается. При этомназываетсяподынтегральной функцией, —подынтегральным выражением, —переменной интегрирования.
Согласно вышеприведенному:
,
где — некоторая первообразная функции;— произвольная постоянная.
Неопределенный интеграл обладает следующими свойствами:
1) .
2) .
3) , где.
4) .
5) .
Таблица основных неопределенных интегралов:
1) |
2) |
3) |
4) |
5) |
6) |
7) |
8) |
9) |
10) |
11) |
12) |
13) |
14) |