Минимизация логических выражений с помощью карт карно

Часто полученное из таблицы истинности выражение в ДНФ является громоздким, избыточным и поэтому может быть упрощено – минимизировано. Такие упрощения дают значительную экономию материальных ресурсов при проектировании и изготовлении цифровых систем. Другим важным следствием упрощения является повышение надежности системы в целом.

Карта карно для двух переменных

Четыре квадрата соответствуют четырем возможным комбинациям А и В в таблице истинности с двумя переменными. При этом квадрат 1 соответствует произведению, квадрат2соответствует произведению, квадрат3 - , квадрат4-.

Например.

A= 1B= 1

Из этой таблицы истинности видно, что по известным правилам получаем логическое выражение в ДНФ.

В записи карт Карно соседние единицы объединяются в контуры группами по 2, 4, 8, и т. д. Построение контуров продолжается до тех пор, пока все единицы не окажутся внутри контуров. Каждый контур представляет собой новый член упрощенного логического выражения. Возьмем сначала нижний контур, заметим, что переменная А здесь встречалась в комбинации с В и . В соответствии с правилами алгебры логики В идополняют друг друга и тогда в нижнем контуре остается только первый член А. В другом контуре вместе с В встречается так же А и, что также является дополнением и поэтому во втором контуре остается один член В. Полученное таким образом в каждом контуре выражение объединяются логической функцией «сложение». В результате получим упрощенное выражение А + В.

Последовательность операций, при упрощении логических выражений с помощью карт Карно:

• Получение логического выражения в ДНФ, как правило, из таблицы истинности.

• По этому логическому выражению заносятся единицы в соответствующие клетки карты Карно.

• Эти единицы в карте Карно объединить в контуры, охватывающие 2, 4, 6 и т. д. соседних единиц.

• Проводим упрощение путем исключения членов в контуре дополняющих друг друга.

• Полученное таким образом в каждом контуре выражения объединяются логической функцией «ИЛИ».

Карта карно с тремя переменными

Оно имеет следующий вид:

Нижний контур содержит дополнения В и, остается, верхний контур содержит С и, поэтому остается. Эти новые члены объединяются логическим сложением.

Карта карно для четырех переменных

Правила заполнения и группировки остаются прежними.

Например.

1.)

2.)

К их недостатку можно отнести то, что построение карт Карно больших размерностей невозможно в простом виде на плоскости.

Комбинационные функциональные схемы

При проектировании цифровых схем разработчик часто сталкивается с некими типовыми схемными реализациями, то есть ряд функций встречаются часто и поэтому они были реализованы в виде интегральных микросхем среднего уровня интеграции.

Счетверенная двухвходовая схема выборки

Если контакт нормально замкнут, тоQ_i=A_i, при переключении ключей в нижнее положениеQ_i=B_i. Это и есть схема, счетверенная двухвходовая схема выборки. Приведенная схема обладает рядом существенных недостатков:

1. низкая скорость переключения (от 0,3 до 0, 05 сек.).

2. неопределенность состояния выхода и входа в момент времени, когда подвижный контакт уже отошел от нормально - замкнутого, но еще не дошел к нормально – разомкнутому.

3. при замыкании контактов в силу их упругости возникает так называемый «дребезг».

4. низкая надежность электромеханических переключателей (даже у лучших переключателей порядка 10 – 15 тысяч переключений).

5. высокая стоимость электромеханических переключателей.

Для преодоления всех этих недостатков были разработаны электронные бесконтактные переключающие устройства. Скорость переключения – 10^-9сек. Полная определенность при переключении, - количество переключений практически не ограничено, надежность – выше, цена – ниже.

На схемах электрических принципиальных счетверенную двухвходовую схему изображают:

Схемы имеют 10 входов и 4

выхода. Входа A_i иB_i называются информационными, то есть на них от внешнего источника подаются входные логические

E	SEL	Аi	Bi	Qi
В	X	X	X	H
Н	H	H	X	H
Н	H	B	X	B
Н	B	X	H	H
Н	B	X	B	B

сигналы, уровнем или 0, или 1. ВходSEL– выбор, если на него подать низкий уровень (Н), тоQ_i=A_i. ЕслиSEL= 1, тоQ_i=B_i.

Е – управляющий вход – разрешение. Х – безразличное состояние.

Если Е=1, то схема отключена и независимо от того, чему равно А, В, и SEL, тоQ=0 (H). Если Е=0, то схема включается, а состояние выходаQопределяется значением сигнала на входеSELи информационных входах.