3.Виды дисперсий и правила их сложения

Если статистическая совокупность разбита на группы по како­му-либо признаку и для этих групп известны (или могут быть най­дены) средний уровень и дисперсия, то нередко при объединении частных групп в совокупность требуется оценить вариации пока­зателей объединенной совокупности на основе показателей от­дельных частных групп. При этом необходимо учитывать, что вариация признака в целом по совокупности зависит как от вари­ации признака внутри каждой группы, так и от вариации группо­вых средних, т.е. от межгрупповой вариации признака. Другими словами, общую дисперсию ²_о6щ, характеризующую вариацию признака под влиянием всех факторов, можно получить на основе ее составляющих - межгрупповой и внутригрупповой дисперсий.

Пусть исходная совокупность делится на m однородных групп по одному признаку-фактору.

Допустим, имеется распределение исходной совокупности, представленное в нижеприведенной таблице.

Распределение исходной совокупности по группам

Значение признака xi	Число единиц в j-й группе					Итого
	1	2	…	k
x1	x11	x12	…	x1k	f1+ s1+…+ t1=n1
х2	x21	x22	…	x2k	f2+ s2+…+ t2=n2
…	…	…	…	…	…
хk	xk1	xk2	…	xkk	fk+ sk+…+ tk=nk
Итого	N1	N2	…	Nm	N

Сначала вычисляем m частных средних, т.е. среднее значение признака в каждой группе:

, , …,

На основе частных средних определяем обитую среднюю по формуле

где

Общая дисперсия совокупности

Общая дисперсия отражает вариацию признака за счет всех ус­ловий (факторов), действующих в данной совокупности.

Вариацию между группами за счет признака-фактора, положенного в основу группировки, отражает межгрупповая дис­персия, которая исчисляется по отклонениям групповых средних от общей средней:

Вариацию внутри каждой группы изучаемой совокупности отражает частная групповая дисперсия, которая исчисляется как средний квадрат отклонений значений признака х от частной средней .

, , ….,

Так как изучаемая совокупность разбита на несколько групп, то для всей совокупности внутригрупповую вариацию будет вы­ражать внутригрупповая дисперсия, которая рассчитывается как средняя арифметическая из групповых дисперсий:

Вид дисперсии	Формула для расчета	Характеристика
общая дисперсия		отражает вариацию признака за счет всех ус­ловий (факторов), действующих в данной совокупности
межгрупповая дис­персия		отражает вариацию между группами за счет признака-фактора, положенного в основу группировки
средняя из внутригрупповых дисперсий		отражает случайную вариацию, обусловленную неучтенными факторами и не зависящая от признака-фактора, положенного в основание группировки

k - число групп;

f_j – число единиц в j-ой группе;

- частная средняя по j-ой группе;

- общая средняя по совокупности единиц.

- внутригрупповая дисперсия

Между представленными видами дисперсий существует опре­деленное соотношение: общая дисперсия равна сумме дисперсий внутригрупповой (средней из групповых дисперсий) и межгруп­повой (дисперсии частных средних), т.е.

Общая дисперсия =	Межгрупповая дисперсия +	Средняя из внутригрупповых дисперсий
2 =	2x +

Правило сложения дисперсии позволяет выявить зависимость результата от определяющих факторов с помощью соотношения межгрупповой дисперсии и общей дисперсии. Это соотношение называется эмпирическим коэффициентом детерминации:

Показывает, какая доля в общей дисперсии приходится на дисперсию, обусловленную вариацией признака, положенного в основу группировки.

Корень квадратный из эмпирического коэффициентом детерминации называется эмпирическим корреляционным отношением:

Отражает влияние признака, положенного в основание группировки, на вариацию результативного признака. [0;1]. При этом если  =0, то группировочный признак не оказывает влияние на результативный. Если  =1, то результативный признак изменяется только в зависимости от признака, положенного в основание группировки, а влияние прочих факторов равно нулю.

Для проверки существенности связи между группировочным признаком и вариацией исследуемого признака часто используется дисперсионное отношение или F-критерий Фишера:

v₁ и v₂ - число степеней свободы для сравниваемых дисперсий, при этом: v₁=m-1; v₂=N-m

m – число групп

N – число наблюдений

Полученное значение критерия, называемое фактическим (расчетным) сравнивают табличным (критическим) значением которое определяется по таблице в зависимости от степеней свободы.

Если F_факт  F_табл наличие связи доказано.