Методичка__Сарычева Т.В

yˆx a b x соответствующего значения x. Однако точечный прогноз явно не реален. Поэтому он дополняется расчетом

стандартной ошибки yˆx , т.е. myˆx и соответственно интервальной оценкой прогнозного значения ( y* )

yˆx myˆx y* yˆx myˆx

Чтобы понять, как строится формула для определения

качестве оценки 2 остаточную дисперсию на одну степень

свободы S2 , получим формулу расчета ошибки среднего значения переменной y:

Ошибка коэффициента регрессии, как уже было показано будет определятся формулой

21

Считая, что прогнозное значение фактора xp xk получим следующую формулу расчета стандартной ошибки предсказываемого по линии регрессии значения, т.е. myˆx :

предсказываемого значения y при заданном xk характеризует ошибку положения линии регрессии. Величина стандартной ошибки myˆx , как видно из формулы достигает минимума при

xk x, и возрастает по мере того, как удаляется от x в любом направлении. Иными словами, чем больше разность между xk и

x, тем больше ошибка myˆx с которой предсказывается среднее

значение y для заданного xk . Можно ожидать наилучшие

результаты прогноза, если признак-фактор находится в центре области наблюдений x и нельзя ожидать хороших результатов

прогноза при удалении xk от x. Если же значение xk оказывается

за пределами наблюдений x, используемых при построении линейной регрессии, то результаты прогноза ухудшаются в

22

зависимости от того, насколько xk отклоняется от наблюдаемых значений фактора x.

Графически доверительные границы для yˆx представляют

собой гиперболы, расположенные по обе стороны от линии регрессии. Однако фактические значения y варьируются около

среднего значения yˆx на величину случайной ошибки ,

дисперсия которой оценивается как остаточная дисперсия на одну

Нелинейная парная регрессия

Если между экономическими явлениями существуют нелинейные соотношения, то они выражаются с помощью соответствующих нелинейных функций: например,

Различают два класса нелинейныхрегрессий:

регрессии, нелинейные относительно включенных в анализ объясняющих переменных, но линейные по оцениваемым параметрам;

регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам.

23

Примером нелинейной регрессии по включаемым в нее объясняющим переменным могут служить следующие функции:

полиномы разных степеней – y a b x c x2

равносторонняя гипербола –. y a b

x

К нелинейным регрессиям по оцениваемым параметрам относятся функции:

степенная — y a xb ;

показательная — y a bx ;

экспоненциальная — y a ea bx .

Нелинейная регрессия по включенным переменным не таит каких-либо сложностей в оценке ее параметров. Она определяется, как и в линейной регрессии, методом наименьших квадратов (МНК), ибо эти функции линейны по параметрам. Так, в параболе второй степени

y a0 a1 x a2 x2 ,

двухфакторное уравнение линейной регрессии:

y a0 a1 x1 a2 x2

для оценки параметров которого, как будет показано, используется МНК.

Соответственно для полинома третьего порядка

y a0 a1 x a2 x2 a3 x3 ,

24

при замене x x1, x2 x2 , x3 x3 получим трехфакторную модель линейной регрессии:

y a0 a1 x a2 x2 a3 x3

а дляполинома k -гопорядка

y a0 a1 x1 a2 x2 ... ak xk

Следовательно, полином любого порядка сводится к линейной регрессии с ее методами оценивания параметров и проверки гипотез. Среди нелинейной полиномиальной регрессии чаще всего используется парабола второй степени; в отдельных случаях — полином третьего порядка. Ограничения в использовании полиномов более высоких степеней связаны с требованием однородности исследуемой совокупности: чем выше порядок полинома, тем больше изгибов имеет кривая и соответственно менее однородна совокупность по результативному признаку.

Парабола второй степени целесообразна к применению, если для определенного интервала значений фактора меняется характер связи рассматриваемых признаков: прямая связь меняется на обратную или обратная на прямую. В этом случае определяется значение фактора, при котором достигается максимальное (или минимальное) значение результативного признака: приравниваем к нулю первую производную параболы второй степени:

Если же исходные данные не обнаруживают изменения направленности связи, то параметры параболы второго порядка становятся трудно интерпретируемыми, а форма связи часто заменяется другими нелинейными моделями.

Применение МНК для оценки параметров параболы второй степени приводит к следующей системе нормальных

25

Решение ее возможно методом определителей:

a a ,b b,c c

При b 0 и c 0 кривая симметрична относительно высшей точки, т. е. точки перелома кривой, изменяющей направление связи, а именно рост на падение. Такого рода функцию можно наблюдать в экономике труда при изучении зависимости заработной платы работников физического труда от возраста - с увеличением возраста повышается заработная плата ввиду одновременного увеличения опыта и повышения квалификации работника. Однако с определенного возраста ввиду старения организма и снижения производительности труда дальнейшее повышение возраста может приводить к снижению заработной платы работника. Если параболическая форма связи демонстрирует сначала рост, а затем снижение уровня значений результативного признака, то определяется значение фактора, при котором достигается максимум.

При b 0 и c 0 парабола второго порядка симметрична относительно своей низшей точки, что позволяет определять минимум функции в точке, меняющей направление связи, т. е. снижение на рост. Ввиду симметричности кривой парабола второй степени далеко не всегда пригодна в конкретных исследованиях. Чаще исследователь имеет дело лишь с отдельными сегментами параболы, а не с полной параболической формой. Кроме того, параметры параболической связи не всегда могут быть логически истолкованы. Поэтому если график зависимости

26

не демонстрирует четко выраженной параболы второго порядка (нет смены направленности связи признаков), то она может быть заменена другой нелинейной функцией, например степенной.

Среди класса нелинейных функций, параметры которых без особых затруднений оцениваются МНК, следует назвать хорошо известную в эконометрике равностороннюю

гиперболу: yˆx a b. x

x

регрессии y a b z , оценка параметров которого может быть дана МНК. Система нормальных уравнений составит:

служит параметр a.

Иначе обстоит дело с регрессией, нелинейной по оцениваемым параметрам. Данный класс нелинейных моделей подразделяется на два типа: нелинейные модели внутренне линейные и нелинейные модели внутренне нелинейные. Если нелинейная модель внутренне линейна, то она с помощью соответствующих преобразований может

27

быть приведена к линейному виду. Если же нелинейная модель внутренне нелинейна, то она не может быть сведена к линейной функции. Например, в эконометрических исследованиях широко используется степенная функция:

y a xb .

Данная модель нелинейна относительно оцениваемых параметров, ибо включает параметры a и b неаддитивно. Однако ее можно считать внутренне линейной, ибо логарифмирование данного уравнения по основанию e приводит его к линейному виду:

ln y lna b ln x ln .

Соответственно оценки параметров a и a могут быть найдены МНК. В рассматриваемой степенной функции предполагается, что случайная ошибка мультипликативно связана с объясняющей переменной x. Если же модель

представить в виде y a xb , то она становится

внутренне нелинейной, ибо ее невозможно превратить в линейный вид.

В специальных исследованиях по регрессионному анализу часто к нелинейным относят модели, только внутренне нелинейные по оцениваемым параметрам, а все другие модели, которые внешне нелинейны, но путем преобразований параметров могут быть приведены к линейному виду, относятся к классу линейных моделей. В этом плане к линейным относят, например,

логарифмируя ее по натуральному основанию, получим линейную форму модели

28

ln y a b ln x ln

Если модель внутренне нелинейна по параметрам, то для оценки параметров используются итеративные процедуры, успешность которых зависит от вида уравнений и особенностей применяемого итеративного подхода. Модели внутренне нелинейные по параметрам могут иметь место в эконометрических исследованиях. Однако гораздо большее распространение получили модели, приводимые к линейному виду. Решение такого типа моделей реализовано в стандартных пакетах прикладных программ.

Среди нелинейных функций, которые могут быть приведены к линейному виду, в эконометрических исследованиях очень широко используется степенная

функция y a xb . Связано это с тем, что параметр b в

ней имеет четкое экономическое истолкование, т. е. он является коэффициентом эластичности. Это значит, что величина коэффициента b показывает, на сколько процентов изменится в среднем результат, если фактор изменится на 1 %. О правомерности подобного истолкования параметра b для степенной функции yˆx a xb можно судить, если рассмотреть формулу расчета коэффициента эластичности

Э f (x) x y

соотношение приростов результата и фактора для соответствующей формы связи.

Для степенной функции она составит:

эластичности окажется равным:

29

Коэффициент эластичности, естественно, можно определять и при наличии других форм связи, но только для степенной функции он представляет собой постоянную величину, равную параметру b . В других функциях коэффициент эластичности зависит от значений фактора x. Так, для линейной регрессии yˆx a b x функция и эластичность следующие:

f (x) b и Э b x a b x

В силу того что коэффициент эластичности для линейной функции не является величиной постоянной, а зависит от соответствующего значения x, то обычно рассчитывается средний показатель эластичности по формуле:

Э b x . y

Поскольку коэффициенты эластичности представляют экономический интерес, а виды моделей не ограничиваются только степенной функцией, в таблице 1 приведены формулы расчета коэффициентов эластичности для наиболее распространенных типов уравнений регрессии.

Несмотря на широкое использование в эконометрике коэффициентов эластичности, возможны случаи, когда их расчет экономического смысла не имеет.

Это происходит тогда, когда для рассматриваемых признаков бессмысленно определение изменения значений в процентах.

30