VIII. Взаимное расположение двух прямых на плоскости Лобачевского.

1. Докажем следующую лемму.

Лемма 1. Если АВ || CD, то существует ось симметрии прямых

АВ и CD.

□ Пусть Р и Q— точки, лежащие соответственно на прямых АВ

рис.13 рис.14

и CD, a h и k — биссектрисы углов QPB и PQD (рис. 13). Так как АВ || CD, то луч h пересекает луч QD в некоторой точке Е. Тогда луч k пересекает отрезок РЕ в некоторой точке S.

Докажем, что точка S равноудалена от прямых АВ и CD. Обозна­чим через SH₁, SH₂ и SH₃ — перпендикуляры, проведенные из точки S к прямым АВ, CD и PQ (рис. 13). Так как SH₁ = SH₃ и SH₂ = SH₃, то SH₁ = SH₂. Теперь ясно, что прямая d, содержащая биссектрису угла H₁SH₂, является осью симметрии прямых АВ и CD. Чтд.

Пользуясь этой леммой, легко доказать, что отношение параллель­ности направленных прямых удовлетворяет условию симметричности, т. е. справедлива теорема.

Теорема 1. Если АВ|| CD, то CD || АВ.

□ Пусть Р — произвольная точка прямой АВ, a d — ось сим­метричных прямых АВ и CD (см. лемму 1). Тогда точка Q, симмет­ричная точке Р относительно прямой d, лежит на прямой CD (рис. 14). Для доказательства теоремы воспользуемся признаком параллельно­сти прямых . Прямые АВ и CD не пересекаются, поэтому достаточно доказать, что любой внутренний луч угла PQD пересекает луч РВ.

Пусть h — произвольный внутренний луч угла PQD, a h’ — луч, симметричный лучу h относительно прямой d. Так как угол PQD сим­метричен углу QPB и h — внутренний луч угла PQD, то h' — внут­ренний луч угла QPB. Но АВ || CD, поэтому луч h’ пересекает луч QD. Отсюда следует, что и луч h пересекает луч РВ. Чтд.

Спра­ведлива следующая теорема.

Теорема 2. Если АВ || EF, EF || CD и прямые АВ и CD не сов­падают, то АВ || CD.

2. Условимся называть две (ненаправленные) прямые а и b парал­лельными, если на этих прямых можно выбрать направления так, чтобы они были параллельны.

Две прямые на плоскости Лобачевского называются расходящи­мися (или сверхпараллельными), если они не пересекаются и не параллельны. Легко видеть, что через каждую точку М, не лежащую

Рис. 15 рис.16

на прямой а, проходит бесконечное множество прямых, каждая из которых расходится с прямой а. В самом деле, пусть прямые CD и EF параллельны прямой а в разных направлениях (см. рис. 7). Тогда любая прямая, проходящая через точку М внутри вертикальных углов CMF и EMD, расходится с прямой а.

Таким образом, на плоскости Лобачевского в отличие от плоско­сти Евклида имеются три случая взаимного расположения двух пря­мых: прямые пересекаются, параллельны или расходятся.

Теорема 3. Две прямые, имеющие общий перпендикуляр, рас­ходятся.

□ Пусть АВ и CD — данные прямые, a PQ — их общий перпен­дикуляр (рис. 15). По лемме 1 (Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы (или соответственные углы) равны, то прямые не пересекаются) прямые АВ и CD не пересекаются. Они не могут быть параллельными, так как если допустить, что они параллельны, то прямые углы APQ и BPQ должны быть углами па­раллельности в точке Р относительно прямой CD. Но угол параллель­ности всегда острый, поэтому наше допущение неверно; значит, АВ и CD — расходящиеся прямые. ■

Следствие. На плоскости Лобачевского не существует общего перпендикуляра двух параллельных прямых.

3. В заключение докажем, что на плоскости Лобачевского рас­стояние от переменной точки одной из двух параллельных или расхо­дящихся прямых до другой прямой есть переменная величина. Для этого предварительно докажем следующую лемму.

Лемма 2. Пусть лучи PP^’ и QQ' лежат в одной полуплоско­сти с границей PQ, PQQ' прямой, a QPP' прямой или тупой

Q H Q’ Q H1 H2 Q’ Q H1 H2 H3 Q’

А) Б) В)

Рис. 17

(рис. 17, а). Тогда если М — переменная точка луча РР', а Н — про­екция этой точки на прямую QQ', то функция МН — f (MP) является монотонной, неограниченно возрастающей функцией.

□ Докажем сначала, что f — монотонно возрастающая функция. Для этого возьмем на луче РР' две точки М₁ и М₂ так, чтобы РМ₁ < РМ₂, и докажем, что М₁Н₁ < М₂H₂, где Н₁ и Н₂— проекции то­чек M₁ и М₂ на прямую QQ'. Рассмотрим три двупрямоугольника с основаниями QH₁ QH₂, H₁H₂ изображенные на рисунке 17, б. Так как РМ₁ < РМ₂, то Р — М₁ — М₂. Применив теорему 2 (сумма углов выпуклого четырехугольника меньше 4d) к двупрямоугольникам с основаниями QH₁ и QH₂ и учитывая, что Р прямой или тупой, приходим к выводу, что углы 1 и 3 острые. Так как 1 и2 — смежные углы, то2 тупой. Тогда по свойству 3° в двупрямоугольнике с основаниемН₁Н₂ имеем Н₁М₁ < H₂M₂. Таким об­разом, f — монотонно возрастающая функция.

Докажем теперь, что f — неограниченно возрастающая функция. Для этого возьмем на луче РР' точки М₁, М₂, ..., М_п, следующие друг за другом так, чтобы РМ₁ = М₁ М₂ = ... = М_n-1 М_п, где n > 2, и рассмотрим проекции H₁ H₂, ..., Н_п этих точек на прямую QQ' (рис. 17, в).

По доказанному PQ < М₁ H₁ < М₂Н₂. Отложим на луче H₁ М₁ отрезки Н₁М₁ и Н₁ М'₂, равные соответственно отрезкам PQ и М₂Н₂. Тогда, очевидно, М’₁— М₁ — М'₂.

В треугольниках РМ₁ М’₁ и М₂М₁ М'₂ имеем РМ₁ = М₂М₁ и РМ₁ М’₁ = M₂M₁M’₂, но PM'₁M₁ первого треугольника тупой (как угол, смежный с углом М’₁ четырехугольника Саккери с осно­ванием QH₁), a M₂M’₂M₁ второго треугольника острый (как угол четырехугольника Саккери с основанием Н₁Н₂). Отсюда следует, что М₁ М’₁ < М'₂М₁.

Если обозначить М₁М’₁ через , тоМ₁ Н₁ = PQ +,М₂Н₂ = М₁Н₁ +M'₂M₁ > PQ + 2. Рассуждая аналогично, прихо­дим к выводу, что М₃Hз > PQ + 3, ...,М_пН_п> PQ + п. Отсюда следует, что f — неограниченно возрастающая функция. ■

Пусть АВ и CD — расходящиеся прямые, a PQ — общий перпен­дикуляр этих прямых (рис. 18). Фигуры BPQD и APQC удовлетво­ряют условиям леммы 2, поэтому согласно этой лемме расстояние от переменной точки М прямой АВ до прямой CD неограниченно возрастает, когда точка М удаляется от точки Р как в одном, так и в другом направлении. Образно говоря, расходящиеся прямые неогра­ниченно «расходятся» друг от друга по мере удаления от общего перпендикуляра.

Пусть теперь АВ || CD, a PQ — перпендикуляр, проведенный из точки Р прямой АВ на прямую CD (рис. 19). Так как QPB острый, то смежный с ним QPA тупой. Фигура APQC удовлетворяет

Рис.18

Рис.19

условиям леммы 2, поэтому согласно этой лемме расстояние от перемен­ной точки М прямой АВ до прямой CD неограниченно возрастает, когда точка М удаляется от точки Р в сторону, противоположную направлению параллельности. Можно доказать, что если точка М удаляется от точки Р в сторону параллельности, то это расстояние стремится к нулю. Образно говоря, параллельные прямые, неограни­ченно удаляясь друг от друга в одном направлении, асимптотически приближаются в другом.