V. Аксиома Лобачевского. Параллельные прямые по Лобачевскому.

1. Геометрия Лобачевского (или гиперболическая геометрия) осно­вана на аксиомах групп I—IV абсолютной геометрии и на следующей аксиоме Лобачевского.

V*. Пусть а — произвольная прямая, а A — точка, не лежащая на этой прямой. Тогда в плоскости, определяемой точкой А и пря­мой а, существует не менее двух прямых, проходящих через точ­ку А и не пересекающих прямую а.

рис 1 рис 2

Из аксиомы V* непосредственно следует, что если даны произвольная прямая а и точка А, не лежащая на ней, то существует беско­нечное множество прямых, проходящих через точку А и не пересе­кающих прямую а. В самом деле, по аксиоме V* существуют две пря­мые, которые обозначим через b и с, проходящие через точку А и не пересекающие прямую а (рис. 1). Прямые b и с образуют две пары вертикальных углов, которые на рисунке 2 обозначены циф­рами 1, 2 и 3, 4. Прямая а не пересекает прямые b и с, поэтому все ее точки принадлежат внутренней области одного из четырех углов 1, 2, 3, 4, например внутренней области угла 1. Тогда, очевидно, лю­бая прямая, проходящая через точку А и лежащая внутри верти­кальных углов 3 и 4, не пересекает прямую а (например, прямые L и d на рис. 1).

Условимся считать, что все пря­мые, рассматриваемые нами, являются направленными прямыми. Поэтому мы их будем обозначать двумя буквами, например UV, счи­тая, что точка U предшествует точке V. Предполагается также, что точки U и V выбраны так, что рассматриваемые нами точки на этой прямой лежат между точками U и V.

2. Введем следующее определение. Прямая АВ называется па­раллельной прямой CD, если эти прямые не имеют общих точек и, каковы бы ни были точки Р и Q, лежащие соответственно на прямых АВ и CD, любой внутренний луч¹ угла QPB пересекает луч QD (рис. 2). Если прямая АВ параллельна прямой CD, то пишут так: AB||CD.

Имеет место следующий признак параллельности прямых.

Теорема 1. Если прямые АВ и CD не имеют общих точек и существуют точки Р и Q, такие, что Р АВ и Q CD, и любой внутренний луч угла QPB пересекает луч QD, то AB||CD.

Для доказательства теоремы достаточно установить, что, ка­ковы бы ни были точки Р' и Q', лежащие соответственно на прямых АВ и CD, любой внутренний луч h угла Q'P'B пересекает луч Q'D. Возможны три случая: точка Р' совпадает с точкой Р; б) точка Р' принадлежит лучу РА; в) точка Р' принадлежит лучу РВ.

Рассмотрим первые два случая,

а) Точка Р' совпадает с точкой Р. Если Q' — точка луча QC, то Q'P'B является объединением углов Q'PQ и QPB, по­ этому луч h либо лежит внутри угла Q'P'Q, либо совпадает с лу­чом PQ, либо лежит внутри угла QPB (рис. 3 а). В первом и во втором случаях луч h пересекает отрезок Q'Q, поэтому пересекает и луч Q'Q. В третьем случае луч h по условию теоремы пересекает луч QD и, следовательно, луч Q'D.

Если Q' — точка луча QD, то угол Q'P'B является частью уг­ла QPB (рис. 3, б). Поэтому луч h является внутренним лучом угла QPB и по условию теоремы пересекает луч QD. Точка пересе­чения является точкой луча Q'D, так как h не проходит внутри угла QPQ' и поэтому не пересекает отрезок QQ'.

б) Точка Р' принадлежит лучу РА. Луч h лежит внутри угла Q'P'P, поэтому h пересекает отрезок PQ' в некоторой точке М (рис. 4). Отложим от луча РВ в полуплоскость, содержа­щую прямую CD, угол ВРМ', равный углу РР'М. Так как BPQ' — внешний угол треугольника PP'Q', то PP'Q' < LBPQ', поэтому РР'М < BPQ'. Отсюда следует, что РМ' — внутренний луч угла BPQ'. Следовательно, по доказанному (см. случай а) ) этот луч пересекает луч Q'D в некоторой точке Mi (рис. 4). Прямая Р'М пересекает сторону PQ' треугольника PQ'M\ и не пересекает сторо­ ну РМ\ (так как ВРМ₁ = BP'M), поэтому по аксиоме Паша прямая Р'М пересекает отрезок Q'М₁. Таким образом, луч h пересе­кает луч Q'D. Чтд.

Рис 3 а Рис.3 б

Рис. 4