Министерство Образования и Науки Российской Федерации

Федеральное Агентство по Образованию

Елецкий Государственный Университет им. И.А. Бунина

Физико-математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Курсовая работа

на тему:

«Геометрия Лобачевского и ее модели».

Выполнил: студент 4 курса

группы М-41: Зверева Д.А.

Научный руководитель:

Подаева Н.Г.

Елец 2009г.

Оглавление.

I. Введение……………………………………………………….…………………3

II. Н.И.Лобачевский и его геометрия……………………………………….…… 6

III. Пятый Постулат Евклида…………………………………………….………..9

IV. Система аксиом Гильберта………………………………………….……….12

Группа 1. Аксиомы принадлежности…………………………………….12

Группа 2. Аксиомы порядка………………………………………………13

Группа 3. Аксиомы конгруэнтности……………………………………...14

Группа 4. Аксиомы непрерывности………………………………………15

Группа 5. Аксиома параллельности………………………………………16

V. Аксиома Лобачевского . параллельные прямые по Лобачевскому …….....17

VI. Теорема о существовании параллельных прямых……………………...….19

VII. Треугольники и четырехугольники на плоскости Лобачевского……...…24

VIII. Взаимное расположение двух прямых на плоскости Лобачевского…....26

IX. Три модели геометрии Лобачевского……………………………………….31

1) Модель Пуанкре……………………………………………………...…31

2) Модель Клейна………………………………………………………….32

3) Интерпритация Бельтрами………………………………...……...……34

X. Практическое применение геометрии Лобачевского………………...……..35

1. Теорема Пифагора…………………………………………………..……..35

2. Замечание к теореме Пифагора……………………………………...……36

3. Площадь треугольника…………………………………...…….…………37

4. Длина окружности и площадь круга………………………....…………..38

XI. Вывод………………………………………………………………………….38

XII. Список литературы..................................................................................…...40

I. Введение.

Геометрия – это одна из древнейших наук. Исследовать различные пространственные формы издавна побуждало людей их практическая деятельность. Древнегреческий ученый Эдем Родосский в IV веке до нашей эры писал: «Геометрия была открыта египтянами, и возникла при измерении Земли. Это измерение было им необходимо вследствие разлития реки Нил, постоянно смывавшей границы. Нет ничего удивительного, что эта наука, как и другие, возникла из потребности человека».

Многие первоначальные геометрические сведения получили также шумеро-вавилонские, китайские и другие ученые древнейших времен. Устанавливались они сначала только опытным путем, без логических доказательств.

Как наука, геометрия впервые сформировалась в Древней Греции, когда геометрические закономерности и зависимости, найденные ранее опытным путем, были приведены в надлежащую систему и доказаны.

В III веке до нашей эры греческий ученый Евклид привел в систему известные ему геометрические сведения в большом сочинении «Начала». Эта книга более двух тысяч лет служила учебником геометрии во всем мире.

Внимательное изучение системы Евклида привело ученых к выводу, что в «Началах» имеются довольно серьезные недоработки. Например, число аксиом, сформулированных Евклидом, является не­достаточным для строгого изложения геометрии, поэтому Евклид при изложении некоторых своих доказательств опирался на непосредст­венную очевидность, наглядность, интуицию и чувственные воспри­ятия.

Кроме геометрии, которую изучают в школе (Геометрии Евклида или употребительной геометрии), существует еще одна геометрия, геометрия Лобачевского. Эта геометрия существенно отличается от евклидовой, например, в ней утверждается, что через данную точку можно провести бесконечно много прямых, параллельных данной прямой, что сумма углов треугольника меньше 180^о. В геометрии Лобачевского не существует прямоугольников, подобных треугольников и так далее.

Данная тема интересна мне по нескольким причинам: теория геометрии Лобачевского помогает взглянуть по-другому на окружающий нас мир, это

интересный, необычный и прогрессивный раздел современной геометрии, она дает материал для размышлений – в ней не все просто, не все ясно с первого взгляда, чтобы ее понять, нужно обладать фантазией и пространственным воображением. Ситуация с геометрией Лобачевского и геометрией Евклида во многом похожа на ситуацию с Теорией относительности Эйнштейна и классической физикой. Геометрия Лобачевского и ОТП Эйнштейна это прогрессивные взаимосвязанные теории, выполняющиеся на огромных величинах и расстояниях, и остающимися верными на приближениях к нулю. В пространственной модели ОТП используется не обычная евклидовая плоскость, а искривленное пространство, на котором верна теория Лобачевского.

Неевклидова геометрия появилась вследствие долгих попыток доказать V постулат Евклида, аксиому параллельности. Эта геометрия во многом удивительна, необычна и во многом не соответствует нашим привычным представлениям о реальном мире. Но в логическом отношении данная геометрия не уступает геометрии Евклида.

Попытки логически безупречно обосновать геометрию продол­жались в течение многих сотен лет. Открытие в начале XIX века не­евклидовой геометрии Н.И. Лобачевским, Я. Бойяи и К. Гауссом яви­лись толчком к дальнейшему развитию аксиоматического метода, ко­торый привел к попыткам нового дедуктивного построения геомет­рии, отвечающего современным требованиям науки.

Так, немецкий математик М. Паш предложил аксиомы порядка, связанные с логически необоснованным до тех пор понятием «меж­ду». Итальянские математики Дж. Пеано, Дж. Веронезе, М. Пиери также внесли определенный вклад в дальнейшее обоснование геомет­рии в разработку аксиоматики обоснования арифметики. Г. Кантор и Р. Дедекинд исследовали аксиомы непрерывности.

В связи с этими достижениями перед наукой встала историческая задача, связанная со строгим обоснованием геометрии на рубеже XIX и XX столетий, решение которой было предложено, независимо друг от друга, рядом ученых. В истории развития аксиоматического метода важную роль сыграли аксиомы Д. Гильберта, немецкого уче­ного (1862-1943), выделявшегося среди плеяды ученых того периода. Эти аксиомы в свое время соответствовали уровню строгости геомет­рии. В 1899 г. Д. Гильберт писал: «Геометрия, так же как и арифме­тика, требует для своего построения только немногих простых основ­ных положений. Эти основные положения называются аксиомами геометрии. Установление аксиом геометрии и исследование их взаи­моотношений - это задача, которая со времен Евклида явилась темой многочисленных прекрасных произведений математической литера­туры. Задача эта сводится к логическому анализу нашего пространст­венного представления.

Аксиоматический метод, впервые разработанный Д. Гильбертом в геометрии с новых позиций, проник и в другие ветви математики: в теорию множеств, алгебру, топологию, теорию вероятностей и др. Кроме этого, аксиоматический метод стал использоваться и при по­строении других наук, в особенности физики. Эти достижения связа­ны с переворотом в геометрии, совершенным Н.И. Лобачевским. Исторически сложилось, что именно к пятому постулату Евкли­да на протяжении многих веков было привлечено внимание математи­ков. Глубоко проанализировав попытки доказательства пятого посту­лата, как свои, так и принадлежащие другим математикам, Н.И. Лоба­чевский пришел к убеждению о независимости этого постулата от ос­тальных аксиом, т.е. к непротиворечивости геометрии, в которой ак­сиоматизируется существование двух различных прямых, проходящих через данную точку параллельно заданной прямой.

Н.И. Лобачевский не только предугадал существование новой геометрии - неевклидовой, но и детально ее разработал. Его точка зрения противоречила всем представлениям человека об окружающем мире. Новая геометрия резко расходилась с философским взглядом того времени на пространство (И.Кант), поэтому это открытие было ошеломляющим. Получалось так, что предположение о неевклидовости реального физического пространства не противоречило аксиомам Евклида, кроме пятого постулата.

В 70-е годы прошлого столетия была доказана непротиворечи­вость геометрии, по праву получившей имя Лобачевского. Доказательство это было построено с помощью моделей Кэли-Клейна и Пу­анкаре.