III. Пятый постулат Евклида.

Евклид так определяет параллельные прямые: две прямые на­зываются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общей точки.

Лемма 1. Если при пересечении двух прямых секущей накрест (лежащие углы (или соответственные углы) равны, то прямые не пере­секаются.

□ Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ накрест лежащие углы равны (например, 1 =2 на рис. 206). Если до­пустить, что прямыеа и b пересекаются в некоторой точке Р, то полу­чим треугольник АВР, у которого один из углов при вершине А или В равен внешнему углу при другой вершине (см. рис.).

Но это противо­речит теореме о внешнем угле треугольника. Второе утверждение теоремы непосредственно следует из доказанного. Чтд.

Возникает вопрос: сколько же через точку М, не лежащую на пря­мой а, проходит прямых, параллельных прямой а? Ответ на него дает следующая теорема.

Теорема 1. Если имеет место V постулат, то через каждую точ­ку М, не лежащую на прямой а, проходит только одна прямая, параллельная прямой а.

□Проведем прямую MN, перпендикулярную к прямой а, N а, и прямую b, проходящую через точку М перпендикулярно к пря­мой MN (см. рис ниже). Тогда прямые а и b параллельны.

Проведем через точку М произвольную прямую b’ отличную от прямой b. Один из смежных углов 1 либо 2, отмеченных на этом же рисунке , острый; пусть 1 острый. При пересечении прямыха и b' с прямой MN получаем внутренние односторонние углы: 1 и3, сумма которых меньше двух прямых углов, значит, по V постулату прямые а и b' пересекаются. ■

Существует и обратная теорема:

Теорема 2. Если принять, что через точку, не лежащую на данной прямой, про­ходит только одна прямая, параллельная данной, то справедлив V постулат.

Итак, V постулат эквивалентен (равносилен) так называемой аксиоме параллельных прямых: через точку, не лежа­щую на данной прямой, проходит не более чем одна прямая, парал­лельная данной.

Лемма 2. Для произвольного треугольника ABC можно построить треугольник А₁В₁С₁ так, чтобы _АВС =_А1В1С1 и А₁

Теорема 4. Сумма углов любого треугольника не больше 2d.

□ Теорему докажем методом от противного. Пусть существует треугольник ABC, такой, что _АВС = 2d + , где> 0. Применяяпредыдущую лемму к треугольнику ABC n раз, построим треуголь­ник АпВпСп, удовлетворяющий условиям _АпВпСп = АВС и А_n А. Выберем п так, чтобы 1/2ⁿ А< . Тогда А_п < . Так как А_n + В_n + С_п = 2d + , то В_п + С_п> 2d.

С другой стороны, легко доказать, что В_п + С_п < 2d. В самом деле, если - мера внешнего угла треугольникаА_пВ_пС_п, смежного с углом В_п, то >С_п, а по теореме о смежных углах +В_п = 2d, поэтому В_п + C_n <С 2d. Мы пришли к противоречию, следовательно, не существует такого треугольника ABC, сумма углов которого больше чем 2d. Чтд.

Итак, сумма углов любого треугольника не больше 2d. Но не мо­жет ли получиться так, что у одних треугольников эта сумма мень­ше 2d, а у других равна 2d? Отрицательный ответ на этот вопрос дает вторая теорема Саккери — Лежандра.

Теорема 5. Если в одном треугольнике сумма углов равна 2d, то сумма углов любого треугольника равна 2d. \

Итак получаем еще одно предположение, эквивалентное V посту­лату: существует хотя бы один треугольник, сумма углов которого равна 2d.