VII. Треугольники и четырехугольники на плоскости Лобачевского.

1. Все теоремы о треугольниках, которые в евклидовой геометрии доказывают без помощи аксиомы параллельности, имеют место также в геометрии Лобачевского. Подавляющее большинство теорем относится именно к этому типу. Теоремы о равнобедренных треугольниках, три признака равенства треугольников, теорема о внешнем угле треугольника, теоремы о соотношениях между сторонами и углами, теоремы о пере­сечении биссектрис внутренних углов треугольника и о пересечении

рис 9 рис 10

медиан треугольника в одной точке и др. теоремы которые имеют место как в евклидовой геометрии, так и в геометрии Лобачевского.

Но треугольники и четырехугольники на плоскости Лобачевского обладают рядом специфических свойств. Рассмотрим некоторые из них.

Теорема 1. Сумма углов любого треугольника меньше 2d.

□ Пусть ABC— произвольный треугольник. По первой теореме Саккери — Лежандра (Сумма углов треугольника не больше 2d) _АВС 2d.Если предполо­жить, что _АВС = 2d, то окажется справедли­вым V постулат, что противоречит аксиоме V*. Следовательно, _АВС < 2d. Чтд.

Следствие. Сумма углов треугольника непостоянна, т. е. не одна и та же для всех треугольников.

Теорема 2. Сумма углов выпуклого четырехугольника мень­ше 4 d..

□ Пусть ABCD —данный выпуклый четырехугольник. Проведем диагональ АС и разложим этот четырехугольник на два треугольника ABC и ADC. Тогда А+В+С+D= _АВС +_ADC. Но _АВС < 2d и _ADC < 2d, поэтому А + В + С + D <4d. Чтд.

Теорема 3. Если три угла одного треугольника соответственно равны трем углам другого треугольника, то эти треугольники равны.

□ Пусть в треугольниках ABC и А'В'С' имеем A = A’ B = B', C = С’. Докажем сначала, что АВ = A’В’. Пред­положим, что АВА'В';для определенности допустим, что АВ> А'В'. На лучах АВ и АС возьмем точки В" и С" так, чтобы АВ" = А'В' и АС" = А'С’ (рис. 10). По первому признаку равенст­ва треугольников имеем /\АВ"С" = /\А'В'С, поэтому 1 =2. По условию 2 =3, следовательно,1 =3. Аналогично уста­навливаем, что4 =6.

По предположению АВ > А^’В’ поэтому А — В" — В, т. е. прямая В"С" пересекает сторону АВ треугольника ABC. В силу равенства

1 = 3 прямыеВ" С" и ВС не пересекаются, следовательно, по аксиоме Паша прямая В"С" пересекает сторону АС тре­угольника ABC, и значит, А — С" — С. Отсюда следует, что четырехугольник BB^”C”C выпуклый.

Из равенств 1 = 3 и 4 =6 следует, что сумма углов этого четырехугольника равна 4d. Таким образом приходим в противоречие с теоремой 2. Значит, АВ = А’B’. По второму признаку равенства тре­угольников АВС =A'В'С'. ■

Рис 11,12

2. Выпуклый четырехугольник называется двупрямоугольником, если два угла, прилежащие к одной стороне, прямые. Если ABCD — двупрямоугольник с прямыми углами А и В, то сторона АВ называется основанием, а стороны AD и ВС — боковыми сторонами. Двупрямоугольник с равны­ми боковыми сторонами называется четырех­угольником Саккери. Рассмотрим некоторые свойства двупрямоугольников.

1°. Если ABCD — четырехугольник Саккери с основанием АВ, то С=D и каждый из углов С и D острый.

2°. Если в двупрямоугольнике ABCD с основанием АВ AD <BC, то С<D.

3°. Если в двупрямоугольнике ABCD с основанием АВ

С < D, то AD <ВС.