глава2

Данную систему целесообразно решать численными методами с началь-

Итак, мы выполнили разбиение сложной системы на фазы, получили математическое описание каждой фазы и, принимая конечное условие предыдущей фазы в качестве начальной для последующей, сформулировали модель движения в целом. Но это – не искомая модель, поскольку нас интересует зависимость скорости схода vcx от коэффициента трения f. Ее можно получить в численном виде, воспользовавшись алгоритмом, показанным на рис. 2.33.

2.3.4. Моделирование с использованием метода статистических испытаний

Разыгрывание выборок по методу Монте-Карло является основным принципом моделирования систем, содержащих стохастические или вероятностные элементы.

Наибольшую выгоду метод Монте-Карло приносит при моделировании вероятностных ситуаций, но полностью применим и к некоторым детерминированным задачам, не имеющим аналитического решения.

В методе Монте-Карло данные предшествующего опыта или гипотетические переменные вырабатываются искусственно путем использования некоторого генератора случайных чисел в сочетании с интегральной функцией распределения вероятностей для исследуемого процесса. Если известна плотность распределения вероятности, то ее путем несложных преобразований можно привести к интегральной функции. Генератор случайных чисел задается таблицей или подпрограммой ЭВМ. Подлежащее разыгрыванию распределение вероятностей может представлять известное или гипотетическое теоретическое распределение, либо может быть основано на эмпирических данных.

Для получения искусственной случайной выборки, распределенной по любому закону, достаточно:

1) построить график или таблицу интегральной функции распределения вероятности требуемого закона F(x) на основе ряда чисел, отражающих иссле-

51

4)записать полученное значение х, которое далее рассматривается как выборочное значение случайной переменной, распределенной по требуемому закону;

5)повторить пункты 2 – 4 нужное число раз.

начало

h; f1; f2; f3;…

f= f1; f2; f3;… конец

vсх; f

Рис. 2.33. Блок-схема алгоритмической модели движения частицы по диску

52

Для нормально распределенных случайных чисел (НСЧ) со средним значением Мт = 0 и среднеквадратическим отклонением σт=1 имеется специальная таблица. Ею можно воспользоваться, чтобы получить нормально распределенную случайную переменную (НРСП) для совокупности и известными параметрами М, σ. Для этого необходимо случайное число из таблицы умножить на σ и результат сложить с М:

НРСП = М + (НСЦ) σ.

Лучшие результаты получают при использовании теоретических распределений. Поэтому, если имеются эмпирические данные, то их целесообразно привести к какому-либо теоретическому закону, проверив их согласие на статистически приемлемом доверительном уровне.

Численный пример, приведенный ниже, лучше прояснит суть эксперимента на имитационной модели.

Пример. Пусть заданы зависимости вероятности извлечения кусков в продукты от коэффициента отражения фотометрического сепаратора интегрального типа εк(R) и εх(R) (рис. 2.35), в котором оценка содержания минерала α осуществляется по величине коэффициента отражения куска:

R = RMSM + RП(S–SM),

где RM, RП – коэффициенты отражения минерала и породы: S, SM – площадь поверхности куска и площадь, занятая минералом на поверхности куска. Будем полагать, что размер, форма, масса, а следовательно, и площадь поверхности

ционной характеристике.

Решение. Допустим, если для i-го куска Ri, меньше Rmax и больше Rmin, то доля куска, численно равная εк(Ri), переходит в концентрат, а доля куска εп(Ri)=1-

εк(Ri) переходит в хвосты, что при рассмотрении неограниченно большого числа кусков в выборке будет эквивалентно доле числа кусков с такими же параметрами, переходящими соответственно в концентрат и хвосты. Если Ri больше Rmax, то εк = 1, т. е. кусок полностью переходит в концентрат. При Ri, меньшем Rmin, εх = 1 и кусок полностью переходит в хвосты.

Перейдем от плотностей распределения (см. рис. 2.36, а) к интегральному виду функции распределения (см. рис. 2.36, б). Составим алгоритм моделирования (рис 2.37).

53

а

Рис. 2.36. Плотности распределения (а) и интегральные функции распределения (б): содержания полезного компонента в кусках руды α; коэффициентов отражения породы RП; коэффициентов отражения минерала RМ

Решение осуществляется в следующей последовательности. Для i-го куска генерируется случайное число СЧ1i в интервале 0÷1, с помощью которого по интегральной функции распределения находится значение содержания минерала в i-м куске αi (см. рис. 2.36, б). Далее генерируется случайное число CЧ2i, которое служит для нахождения значения коэффициента отражения породы в i-м куске по интегральной функции F(Rп). Аналогично по СЧ3i, находится величина

RMi.

Затем найденные значения для i-й реализации (прогонки) подставляются в преобразованное с учетом допущений уравнение

Ri = RMiαi + RПi(1 – αi).

Например:

R1 = RM1α1 + RП1(1 – α1)=26·0,02+7·(1-0,02)=7,38.

Таблица 2.4. – Результаты трех «прогонок»

Определение доли куска, переходящейв концентрат, производится с использованием характеристики на рис. 2.35 или по выражению

54

При завершении «прогонок» п кусков (таблица 2.4) по накопленным значениям рассчитываются технологические показатели:

начало

Ввод: w(α); w(RП); w(RМ); n

Mк=0; Mх=0; β'=0; υ'=0; α=0

i = 1, n

Рис. 2.37. Алгоритм моделирования фотометрической сепарации

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ К ГЛАВЕ 2 1. Приведите примеры модельного представления формы отдельных ча-

стиц.

2. Приведите основные формулы для аналитического задания гранулометрического состава.

55

3.Охарактеризуйте основные законы распределения содержания компонента по кускам при изменении размеров кусков.

4.Объясните причину эволюции распределения содержания компонента по кускам при изменении размеров кусков.

5.Приведите примеры типичных моделей кусков, состоящих из полезного минерала и породной части.

6.Опишите сущность аппроксимации экспериментально полученного распределения теоретическим законом.

7.Какие критерии и как используют для проверки согласия экспериментального распределения с теоретическим?

8.Дайте понятие w- и β-функций.

9.Каковы способы задания w- и β-функций?

10.Что такое сепарационная характеристика?

11.Приведите графики идеальной и реальной сепарационных характери-

стик.

12.Что понимается под границей разделения и как ее найти по сепарационной характеристике?

13.Какие показатели характеризуют точность разделения в аппарате?

14.Как видоизменяются графики w- и β-функций продуктов разделения по сравнению с исходным питанием?

15.Приведите формулы расчета выхода продукта при известных ω- функции питания и сепарационной характеристике.

16.Приведите формулы расчета содержания компонента в концентрате при известных w- и β-функциях питания и сепарационной характеристике.

17.Приведите пример модели-формулы.

18.Запишите модели дробления и грохочения в матричной форме.

19.Какие модели массообмена и в каких случаях приемлемы для различных аппаратов обогатительной технологии?

20.Запишите простейшее уравнение кинетики извлечения минерала из аппарата порционного действия в дифференциальной форме.

21.Каковы особенности моделей динамики?

22.Дайте понятие функции фракционного состояния в рабочей зоне аппа-

рата.

23.Запишите в общем виде локальный фракционный закон сохранения.

24.Какие группы сил определяют характер движения частиц в обогатительных аппаратах?

25.Каков порядок получения основного уравнения сепарации?

26.В каких случаях применимо цифровое моделирование?

27.Каковы преимущества алгоритмических моделей?

28.Приведите пример получения случайных чисел по заданному закону распре-

деления.

56