глава2

(продукт содержит породных и минеральных кусков поровну), закон симметричен, для бедных продуктов р < 0,5 он правоасимметричен, для богатых – р > 0,5 он левоасимметричен.

Рис. 2.12. Блок-схема алгоритма получения распределения содержания компонентов в пробах по известному распределению содержания компонента в кусках (или меньших по массе пробах) для заданного числа кусков nт, попадающих во вновь формируемые пробы

11

Алгоритмический путь получения нового распределения содержания компонента в пробах, включающих несколько кусков или меньших по массе проб пт, при известном покусковом распределении w(α) построен по принципу разыгрывания выборок с использованиемидеиметодаМонте-Карло (рис. 2.12).

Пусть известно исходное распределение содержаний компонента в кусках, заданное плотностью w(α), требуется получить новое распределение путем формирования проб по пт кусков в каждой. Новое распределение можно представить в виде гистограммы.

Зададимся числом проб т, достаточным для получения нового распределения. Преобразуем график плотности начального распределения в интегральную функцию распределения вероятности (рис. 2.13). Генерируя случайные числа,

Рис. 2.13. К получению гистограммы распределения вероятностей содержания компонентов во вновь образованных пробах uj=ω(αт)Δα с объединением nт кусковых проб с плотностью распределения ω(α) при использовании метода Монте-Карло:

а – плотность распределения; б – интегральная функция распределения; в – гистограмма нового распределения

распределенные по равномерному закону (СЧРЗ), будем по графику находить случайные числа, соответствующие фактическому закону (СЧФЗ). После накопления пт реализаций вычислим содержание в сформированной пробе по формуле

αт = ∑ αi . nт

Вновь образованные пробы рассортируем на группы по заданным значениям интервалов αт с границами α1, α2, , α3, ..., суммируя число проб, попавших в интервалы (т1, т2, т3,…), найдем долю проб, попавших в интервалы:

и1= т1/ т, и2= т2/ т, и3= т3/ т,….

По значениям иj построим гистограмму распределения вероятностей содержания компонента во вновь образованных пробах (рис. 2.13, в).

Когда вновь получено распределение подобным путем или чисто экспериментальным (примеры экспериментальных распределений содержаний компонентов в различных продуктах показаны рис. 2.14), для удобства дальнейшего использования его целесообразно аппроксимировать каким-либо типичным теоретическим законом.

Вид предполагаемого теоретического закона обычно выбирают из анализа гистограмм распределения.

Типичные используемые на практике законы распределения вероятности

12

Рис. 2.14. Экспериментальное распределение содержания компонента различных продуктов: а – симметричное распределение содержания железа в руде; б – левоасимметричное распределение содержания железа в концентрате; в – правоасимметричное распределение содержания асбеста в руде: I – для группы асбеста (асбест с определенной длиной волокна), II – общее содержание асбеста

приведены на рис. 2.15.

Аппроксимация симметричных распределений чаще осуществляется с помощью нормального закона с непосредственным использованием в качестве его

Правосторонние распределения аппроксимируют гамма-распределением:

13

делена нормально с модой М0(у):

М0(у) =ln αср – 0,5 sln2 α.

Одним из немногих универсальных законов является β-распределение, плотность которого описывается формулой

где Г(а), Г(b), Г(а+b) – гамма-функции.

Оценка параметров а и b осуществляется по выборочной средней ариф-

При а > b распределение имеет левостороннюю асимметрию; при а < b – правостороннюю; при а = b распределено симметрично.

При а> 1, b> 1 распределение унимодальное с модой:

M0 (αотн) = (a − 1) /(a + b − 2).

Если а<1, b ≤ 1 распределение имеет вид убывающей функции, если а≥ 1, b<1 – возрастающей. Из-за сложности β-распределение для аппроксимации используется редко.

Когда сделано предположение, что совокупность эмпирических данных незначительно отличается от той, которую можно ожидать при некотором теоретическом законе распределения, выполняют проверку: согласуется ли экспериментальное распределение с теоретическим. Для этого находят, пользуясь методом моментов, по экспериментальным данным моменты распределения (среднеарифметическое, дисперсию и т. п.) и принимают их равными теоретическим.

Соответствие законов можно проверить по двум критериям: χ2 и Колмогорова − Смирнова.

По критерию согласия χ2 проверка состоит в следующем. Вычисляют

где ni – экспериментально полученное число наблюдений изучаемой величины в i-ом интервале изменения α; N – общее число экспериментальных данных; рi − теоретическая вероятность попадания изучаемой величины в i-й интервал; Npi – число данных, соответствующих теоретическому распределению; k − число интервалов на оси абсцисс.

Теоретическую вероятность рi находят по теоретическому закону:

14

рi= Ф(αi+1) − Ф(αi),

где Ф(αi+1) и Ф(αi) − интегральные функции распределения вероятностей соответственно при значениях αi+1 и αi.

Для определения Ф(αi) используют таблицы соответствующих законов. Интервалы необходимо подбирать так, чтобы в каждом из них наблюдае-

мых значений ni, было не менее 5. При принятых доверительной вероятности и числе степеней свободы f=k-1-m (k − число интервалов; т – число параметров, определяемых опытным путем или на основе выборочных данных для вычисле-

ния ожидаемых значений частот) находят табличное значение χ2т и сравнивают его с расчетным χ2р. Если χ2р> χ2т , то теоретический закон распределения не со-

ответствует экспериментальным данным, и надо искать более подходящий. Критерий Колмогорова – Смирнова применяется при относительно малых

выборках, когда критерий χ2 неприменим. Для его использования необходимо, чтобы проверяемое распределение было непрерывным и были рассчитаны среднее значение и дисперсия выборочной совокупности. Проверка осуществляется путем задания интегральной функции, следующей из теоретического распределения, и сравнения с интегральной функцией распределения эмпирических данных.

Сравнение основывается на выборочной группе интервала, в которой экспериментальное распределение имеет максимальное по модулю отклонение от теоретического. Далее эта максимальная абсолютная разность сопоставляется с критическим значением, приведенным в специальных таблицах, с целью определения, может ли такое отклонение быть случайным при данном законе распределения. Если отклонение меньше критического, имеется согласие, и выбранный теоретический закон использовать можно.

2.1.3. Фракционный состав продуктов

Понятие фракционного состава тесно связано с распределением минеральных частиц по какому-либо физическому свойству, в частном случае − содержанию полезного компонента. Обычно фракционный состав и его математическая трактовка используются для прогноза обогатимости. Вспомним классический фракционный анализ угля по плотности, заканчивающийся построением кривых обогатимости Анри. Фракционирование можно проводить и по многим другим физическим свойствам, которые положены в основу того или иного метода разделения.

Общий подход к фракционному составу и его приложениям в обогащении дает в своих работах О. Н. Тихонов. Подробно рассмотрим его суть.

Частицы обогащенного материала характеризуются физическими свойствами ξ. ξ − символ, обозначающий любое частное физическое свойство. Этим символом в дальнейшем будем пользоваться для общетеоретических рассуждений, при переходе к определенному методу разделения физическое свойство будет конкретизироваться: d, l − крупность, ρ – плотность, χ – удельная магнитная восприимчивость, g – удельная электропроводность частиц, q – удельный электрический заряд, φ – признаки информационного разделения (коэффициент от-

15

ражения R, интенсивность вторичного характеристического излучения I, светимость S и т. п.), α – массовая доля компонентов.

Разделение в обогатительных аппаратах ведется именно по этим свойствам (разделительным признакам).

Физические свойства смеси частиц изменяются в некотором диапазоне, который может быть задан различными видами записи: [ξmin ÷ ξmax], [ξmin , ξmax],

ξmin < ξ< ξmax.

Можно допустить, что свойство ξ внутри диапазона [ξmin , ξmax] изменяется непрерывно, поскольку частицы в общем случае – это сростки с различным содержанием компонентов. Для смеси чистых минералов (в идеализированном

ной или различной ширины. Если Δξi =const, а всего фракций п, интервал

найдем как Δξi =( ξmax – ξmin)/n.

Пусть w(ξ) – плотность распределения частиц по свойству ξ, поэтому

ξmax

∫w(ξ)dξ =1.

ξmin

Тогда заштрихованная площадь на рис. 2.16 доля элементарной фракции:

ξi + ξi

∫ w(ξ)dξ = γi.

ξi

Здесь и далее символом γ будем обозначать такую технологическую характеристику, как выход. Очевидно, что

Величина γi характеризует долю i-й фракции в продукте.

Размерность функции w(ξ) обратная размерности соответствующего физического свойства.

Значение w-функции в отдельных точках ξi, может быть найдено как отношение выхода элементарной фракции γ к ее диапазону Δξi.

Вторая основная функция служит для связи среднего содержания компонента во фракции βi со значением физического свойства этой фракции. Она

16

называется β-функцией и обозначается. В элементарной фракции β(ξi) находится усреднением содержаний компонентов в отдельных частицах. Среднее содержание компонента [ξi, ξi+1] во фракции определяется по формуле

i+1

βi = γ−1 ∫β(ξ) w(ξ)dξ,

ξiξ

так как γi – относительная масса частиц в i-й фракции, а интеграл – относительная масса компонента в этой фракции.

Среднее содержание компонента в анализируемой пробе (продукте) вычислим следующим образом:

ξmax

β= ∫β(ξ) w(ξ)dξ,

ξmin

w(ξ)= С1δ (ξ - ξ1) + С2δ (ξ – ξ2) + …+ СNδ (ξ – ξN);

β1, для ξ= ξ1;

β4, для ξ= ξ2;

β(ξ)= …………….;

βN, для ξ= ξN.

Дельта-функции δ (ξ – ξi) графически представляют собой бесконечно узкие импульсы с бесконечной амплитудой в i-x точках оси ξ. Умножение на С1, С2, ...,CN позволяет использовать нормирование γ-функции:

N

∑Ci = 1.

i=1

Свойство δ-функции:

+∞

∫ δ(ξ − ξi )dξ = 1,

−∞

17

поэтому

+∞

∫ w (ξ)dξ = 1.

−∞

Для случая существенности двух физических свойств для каждого минерала w- и β-функции выражаются с использованием двумерных δ-функций следующим образом:

w(ξ1, ξ2)= С1δ (ξ1 –ξ11, ξ2 –ξ21) + …+ СNδ (ξ1 –ξ1N, ξ2 –ξ2N);

β1, для ξ1= ξ11, и ξ2= ξ21;

β(ξ1, ξ2)= …………….

βN, для ξ1= ξ1N, и ξ2= ξ2N.

График w-функции в этом случае представляет собой N дискретных объемных импульсов. Объемы каждого импульса равны весовой доле соответствующего минерала в смеси.

Определение w- и β-функций для любых физических свойств выполняется по однотипной методике. Проба разделяется на несколько фракций с размерами Δξ1, Δξ2,… ΔξN, перекрывая весь диапазон [ξmin, ξmax]. Каждая из полученных фракций взвешивается, и во всех фракциях определяется содержание компонента βi. Поясним это таблицей 2.1.

Таблица 2.1. – Получение w- и β-функций по результатам фракционного анализа

2.1.4. Прогноз технологических показателей обогащения и фракционных характеристик

Качественный анализ возможностей разделения сырья с известными w- и β-функциями выполним по их виду. Отдельные фракции отличаются друг от друга и средним выходом элементарных фракций и содержанием компонента в них. Если линия β-функции близка к горизонтальной линии или слабонаклонная, то можно говорить о неперспективности данного физического свойства для разделения данного вида сырья. По характеру распределения w-функции тоже можно сделать практические выводы; так, наличие провала в зоне предполагаемого разделения указывает на потенциально высокую обогатимость сырья, т. к. доля сростков невелика, а мода в этой области указывает на большую долю сростков в зоне разделения и низкую обогатимость.

18

Таким образом, при подготовке сырья к обогащению следует стремиться к увеличению пределов колебаний фи-

зических свойств сырья [ξmin, ξmax] → max, как и к получению «весьма неплоской» β -функции, например, к выполнению условия

∑[β(ξi )− β]2→ max.

i

Для количественного прогнозирования результатов обогащения и предсказания фракционного состава продуктов требуется введение неких преобразующих функций аппарата, которые характеризовали бы вероятность перехода той или иной фракции в продукты.

Такой характеристикой аппарата является сепарационная характеристика ε(ξ), она задает вероятность извлечения фракции в продукт обогащения в зависимости от значения физического признака фракции.

Извлечение частиц конечной фракции [ξi, ξi+1] или[ξi, ξi+ ξi] в концентрат

равно соотношению масс (производительностей) частиц фракции в концентрате mik и в исходном miисх:

где Qк и Qисх – производительности по твердому соответственно концентрата и исходного; Qк γiк – производительность по i-й фракции для концентрата, Qисх γiисх – то же для исходного.

19

Сепарационные характеристики по концентрату и хвостам связаны балансовым соотношением

εк(ξ)+ εх(ξ)=1.

В идеальном случае сепарационная характеристика ε(ξ) имеет ступенчатый вид:

Здесь 1·(ξ- ξгр) – символ единичной ступенчатой функции, ξгр – указывает на границу разделения, т. е. на точку, в которой происходит скачок на единицу.

При реальном разделении неизбежно взаимозасорение продуктов из-за несовершенства аппарата. В этом случае разделение носит вероятностный характер. В гравитации кривые вероятности разделения сводятся к виду нормального распределения и известны под названием кривых Тромпа–Терра. В общем случае вероятные кривые могут быть описаны не только кривой нормального распределения, а любым уравнением, наиболее точно отражающим работу конкретного аппарата.

Виды гипотетических сепарационных характеристик для идеального и реального случаев приведены на рис. 2.19.

Граница разделения – это такое значение физического свойства частиц, при котором их выделение в концентрат и хвосты равновероятно:

ε(ξгр) – 0,5 = 0.

При граничном значении признака разделения сепарационные характеристики по каналу хвостов и концентрата пересекаются в точке с ординатой, равной 0,5 (рабочая точка А на рис. 2.19).

В аппаратах обогащения возможно регулирование параметров, а следовательно, и изменение положения границы разделения в нужном направлении, а в отдельном случае и вида самой кривой.

20