глава2

малого объема, где процессы кратковременны, кинетические модели не имеют особого смысла. Модели кинетики дают информацию для выбора необходимого времени флотации, измельчения, отсадки, а следовательно, для обоснования объема, длины, числа аппаратов, циркуляционных нагрузок, схем измельчения и обогащения.

2.2.5. Модели динамики

Это модели, описывающие движение частиц, происходящее под действием приложенных к ним сил, вызывающих или изменяющих это движение, – так называемых ускоряющих сил. Силы могут быть представлены как функции положения тел, их скоростей и времени.

В динамике решаются две основные задачи: 1) определение силы, производящей данное движение тела; 2) определение движения тела, происходящее под действием заданных сил.

Обычно задачи динамики решаются при помощи дифференциальных уравнений движения. Для движущегося тела уравнение в общем случае при воздействии нескольких сил имеет вид:

где v – скорость тела в направлении движения, t – время, Fi – i-ая сила, дей-

ствующая на тело.

Для определения закона движения тела нужно найти значение координаты движения х для каждого момента времени.

Модели динамики широко применяются в теории обогащения. Они появились одними из первых в период, когда еще не использовался современный математический аппарат, и с успехом разрабатываются до настоящего времени. Такие модели просты по форме, основаны на законах классической механики и физики полей, понятны, как правило, интегрируемы и в конечном виде представляются формулами.

Такие модели довольно условны, и их применение обычно ограничено, однако они способствуют пониманию сути процесса. С их помощью выполняется анализ поведения частиц в аппаратах, выбирается характер и интенсивность приложения сил, решаются задачи совершенствования режимов и конструкций.

Рассмотрим суть получения такой модели.

Сначала вводятся допущения, позволяющие существенно упростить саму модель и последующее решение. Они касаются свойств тел, среды разделения, полей, создающих те или иные силы, условий движения (свободное падение, например), задания границ, за которые не должно выходить тело, и т. п. Допущения существенно ограничивают применимость моделей.

Далее, исходя из анализа действующих на тело сил, составляется уравнение движения тела, в котором силы заменяются параметрами движения, свойствами тел и среды.

Затем полученное дифференциальное уравнение преобразуется и по воз-

31

можности решается аналитически путем интегрирования. Чаще удается получить модель в итоге в виде формулы.

Распространен случай, когда необходимое решение получается при конечных условиях решения задачи, т. е. в установившемся режиме при dv/dt = 0. Тогда решение сводится к решению алгебраических уравнений относительно интересующей переменной.

На базе модели динамики получены ставшие классическими уравнения конечной скорости движения тела в свободных условиях. Модели получены при допущениях об идеальной форме тела, например, сферической, для условий падения тела без взаимодействия (столкновения) с другими телами и стенками сосуда в неподвижной среде.

На тело, свободно движущееся в среде, действуют силы тяжести G, архимедова сила А и сила сопротивления Р:

где d – диаметр тела; δ и – плотности соответственно тела и среды, ψ – коэффициент сопротивления, уравнение движения перепишется в виде

Подставляя (2.5) в (2.2) с учетом (2.3) получим:

32

Разделяя переменные и интегрируя в пределах от 0 до v получаем:

Принимая, что при t=0, v=0, имеем c=0, поэтому получаем:

g0t = v0 ln v0 + v , 2 v0 − v

откуда

2g0t

v0 + v = e v0 . v0 − v

Решая последнее равен относительно v, можно записать:

Модель конкретизируется в зависимости от вида v0, который различен для частиц разного размера.

Получим вид v0 для частного случая мелких частиц d<0,l мм (формула Стокса). Отметим, что во многих случаях ведется поиск именно этой модели, поскольку переходные процессы достижения телом конечной скорости сравнительно непродолжительны.

Вернемся к уравнению (2.2). Заменим коэффициент сопротивления ψ по формуле Стокса, полученной им для шара:

ψ=3πμ dv,

и подставим ψ в уравнение (2.2), используя также (2.3), тогда имеем:

33

дения частицы сферической формы (d≤0,1 мм) в среде:

Аналогично получают модели движения для различных условий разделения в зависимости от действующих на тело сил.

2.2.6. Модели динамики массопереноса

Такие модели вытекают из общих закономерностей движения минеральных частиц в рабочих зонах обогатительных аппаратов, которые разработаны О. Н. Тихоновым. Модели позволяют предсказать ход процесса сепарации минеральных частиц в пространстве рабочей зоны (х, у, z) и времени t для любого обогатительного аппарата. Для этого вводится ряд понятий, в частности, о функции фракционного состояния w(ξ, х, у, z, t) минеральных частиц в зоне, о

поле статистически усредненных скоростей v (ξ, х, у, z, t), используются законы сохранения, даются понятия о действующих на частицы в аппаратах силах, рассматривается методика составления уравнений сепарации, решения которых предсказывают функцию состояния в любой точке, в том числе в зонах продуктов обогащения. Уравнения сепарации по физико-математической природе сравнимы с уравнениями математической физики (например, с уравнениями диффузии). Однако сложный состав продуктов, изменчивость физических свойств частиц, характерные для обогатительных процессов, выводят эти уравнения за пределы известных типов уравнений математической физики. Составление и исследование этих уравнений открывает большие возможности для раз-

34

и по рабочей зоне обогатительного аппарата, каждая точка пространства которого имеет три координаты (х, у, z).

Рабочая зона – это часть пространства, в которой минеральные частицы подвергаются действию сил, при этом те из частиц, что имеют ξ>ξгр, движутся в сторону разгрузки одного продукта, а другие, с ξ<ξгр, – в сторону разгрузки второго. Разделение может осуществляться в объеме, на плоскости, на линии (рис. 2.23).

Подвергаемый обработке материал распределен по рабочей зоне неоднородно, и в общем случае его фракционный состав подвержен изменениям во времени. Поэтому состав материала будем характеризовать сложной функцией w(ξ, х, у, z, t). Число w(ξ, х, у, z, t)dξ – это массовая или объемная доля частиц элементарной фракции [ ξ, ξ+Δξ] в окрестности точки (х, у, z) в момент времени t.

Массовые и объемные меры связаны между собой соотношением

wмас(ξ)= wоб(ξ)ρ(ξ)/ρср,

где ρ(ξ) и ρср – плотность соответственно фракции и всего материала.

Средний фракционный состав в конечной части рабочей зоны Vi определяется так:

wVi (ξ ) = Vi−1 ∫ ∫∫w(ξ, x, y, z, t)dx dy dz.

Vi

Среднее содержание компонента в конкретной точке зоны:

ξmax

β(x, y, z) = ∫β(ξ) w(ξ, x, y, z, t)dξ;

ξmin

в конечной части объема Vi:

Помимо минеральных частиц, в окрестности точки находится и среда. Если часть объема в окрестности точки (х, у, z) занята частицами и равна т = т (х, у, z , t ) , а оставшаяся часть приходится на среду 1-т, то в общем случае справедлива полная w-функция вида

wполн(ξ, х, у, z, t) = mwмин(ξ) + (1-т) ωср(ξ),

где m – степень заполнения; wмин; wср - соответственно w-функции минералов и среды.

В ряде случаев можно допускать т=const (случай равномерного заполнения).

Задача предсказания хода сепарации (предсказание массопереноса) сво-

дится к следующему: необходимо определить функцию состояния w(ξ, х, у, z, t) в этой точке (х, у, z) при t > 0 если аналогичная функция задана в момент времени t0= для фракционного состава питания. Заметим, что предсказание функции β(ξ) не требуется из-за ее постоянства без операций раскрытия и специальных селективных воздействий на физические свойства частиц.

Частицы в зонах аппаратов движутся под действием различных сил с усредненной скоростью (без хаотической случайной составляющей отдельных частиц), зависящей от ξ, х, у, z, t:

35

v (ξ, x, y, z, t) = vx (ξ, x, y, z, t) i + vy (ξ, x, y, z, t) j + vz (ξ, x, y, z, t) k

где i , j , k , – единичные векторы по осям х, у, z.

Поле скоростей в зоне для элементарной фракции [ξ, ξ+dξ] определяется во всех точках сепарации векторной функцией v (ξ, x, y, z, t).

Между функциями w(ξ, х, у, z, t) и v (ξ, x, y, z, t) существует взаимосвязь,

называемая законом сохранения вещества.

Для локального фракционного закона сохранения, т. е. справедливого для окрестности любой локальной точки (х, у, z) и любой элементарной фракции

∂(mw) = −div(mw v ) + W ,

∂t

где div(mw v ) = ∂(mwvx ) / ∂x + ∂(mwvy ) / ∂y + ∂(mwvz ) / ∂z – дивергенция вектора

mw v ; W – подводимый (отводимый) поток источника (стока) фракции.

Физический смысл локального закона сохранения заключается в следу-

ющем: накопление материала в произвольном объеме в единицу времени равно сумме разности между потоками, входящими через границу объема и выходящими через нее, и потока источника внутри объема.

При отсутствии внутренних источников W = 0 и постоянстве концентрации твердого (т = const) уравнение приводится к важному частному случаю:

ξmin

скорость транспортирования; Qист – суммарный поток частиц всех фракций источника.

Если внутри зоны аппарата условно выделить точку исходного питания

Wиcx = Qиcxwиcx(ξ), точки отвода концентрата Wк = - Qкωк(ξ) и хвостов Wх = - Qхwх(ξ) с указанием координат этих точек, то имеет место важный для практики случай,

когда W = Wиcx + Wк + Wх.

Интегральный закон сохранения для зоны сепарации следует из локального и получается интегрированием по объему рабочей зоны ∂V=∂x ∂y ∂z.

∂∂t ∫∫∫mw dV =∫∫∫W dV ,

V V

а при отсутствии источников (W = 0):

36

∂∂t ∫∫∫V mw dV =0

или после преобразований

∫∫∫mw dV = Vmсреднwсредн(ξ) = Mwсредн(ξ),

V

где V, М – соответственно полный объем и запас материала в зоне; mсредн и wсредн

–соответственно средние степень заполнения и фракционный состав.

Вэтом случае физический смысл интегрального закона: средний фрак-

ционный состав в зоне без источников (и стоков) – не меняется с течением времени.

Вчастном случае, если производительность W сосредоточена в точ-

ках подвода питания и отвода концентрата и хвостов, интегральный закон принимает вид:

∂∂t ∫∫∫V mw dV = Qисх(t) wисх(t) − Qк(t) wк(t) − Qх(t) wх(t).

Физический смысл интегрального закона: секундное изменение сум-

марного количества любой фракции, запасенной в зоне, равно разности подводимых с исходным питанием и отводимых с концентратом и хвостами потоков этой фракции.

Если Qиcт сосредоточен в трех точках: точке подачи исходного, точках вывода концентрата и хвостов – интегральный закон сохранения принимает вид:

dM/dt= Qиcх(t) – Qк(t) - Qх(t),

где M = ∫∫∫m dV – суммарное количество материала, запасенное в зоне.

V

Для решения задачи предсказания хода сепарации, кроме уравнения локального закона сохранения, имеющего два неизвестных w и v , требуется еще

одно, включающее те же неизвестные. В качестве такого уравнения будем использовать уравнение баланса статистически усредненных сил, действующих на частицы элементарной фракции:

∑ Fi = 0,

где Fi – i-я сила, действующая на частицу.

Данное уравнение всегда приближенно, так как его точность определяется правильностью выбора главных сил для данной зоны аппарата.

Различные силы, действующие в зонах обогатительных аппаратов, приведены в таблице 2.3.

Все рассматриваемые силы будем относить к единице объема минеральных частиц.

Какие же виды сил встречаются в обогатительных аппаратах?

Это традиционные детерминированные силы. Силы типа архимедо-

вой, вызванные реакцией среды и существованием градиента давления в среде в направлении действия основной силы.

37

Таблица 2.3 – Характеристика сил, действующих в обогатительных аппаратах

(силы отнесены к единице объема)

38

Подробней остановимся на среднестатистических силах. Они возникают из-за стесненных условий разделения. Частицы при движении соударяются и взаимодействуют друг с другом. Оценку взаимодействия осуществим силами

градиентной F град и сопротивления F сопр. Они являются статистическим сред-

ним упомянутых ударных взаимодействий.

Градиентная сила проявляется при неоднородности концентрации частиц разных видов при движении потоков. Частицы, соударяясь друг с другом, проникают в зоны преобладания частиц других видов, причем, чем больше разность концентраций, тем интенсивней идет взаимное проникновение. Выражение для определения градиентной силы имеет вид:

F град = − [k / w(ξξx, y, z, t)]grad w(ξξx, y, z, t),

где k – коэффициент пропорциональности, зависящий в общем случае от физического свойства.

При т ≠const

F град = −k grad(mw) / mw = −k (m−1grad m + w−1grad w).

С точки зрения кинетической теории k = ρv2 / 3 , где v 2 – средний квадрат

скорости хаотического движения частиц.

Градиентные силы препятствуют целенаправленному разделению минеральных частиц, они стремятся выровнять концентрацию в зоне разделения.

Сила сопротивления в общем случае включает две составляющие: одна возникает благодаря сопротивлению среды, которое можно учесть как детерминированную силу; другая – от многократных соударений с частицами.

Причем, если градиентная сила действует уже при наличии градиента концентраций, то сила сопротивления препятствует возникновению гради-

ента концентраций. Так, если частицы разного состава, а следовательно, и свойств, двигаются в одинаковом направлении по одинаковым траекториям, то одна из них, начиная разгоняться, догонит вторую, ударится о нее и потеряет набранную скорость, т. е. затормозится. Усредненная тормозящая сила равна

потере импульса (mчастv) частицы в единицу времени, т. е. – d(mчастv)/dt, где mчаст – масса частицы.

Если τ – среднее время пробега частицы от столкновения до столкновения, то

F сопр = − mчастτ v = −αv ,

где α – коэффициент пропорциональности, v – скорость в направлении движения частицы.

В свободных условиях F град, F сопр не действуют.

Вместе силы F град, F сопр создают диффузионный эффект. При действии

только этих сил имеет место лишь процесс диффузии, для которого справедливо уравнение

39

где D =kα-1 – коэффициент макродиффузии, м2/с.

Диффузионные эффекты рассеивания и, следовательно, взаимное засорение концентрата и хвостов имеют место во всех обогатительных аппаратах со стесненными условиями в рабочей зоне.

В уравнениях сепарации коэффициенты k, α, а следовательно, и D могут быть определены экспериментально.

Другой класс среднестатистических сил – среднестатистические силы типа силы Архимеда F г-а, F м-а, F а-а . Они действуют в смеси стесненно движу-

щихся частиц с соответственно различными плотностью, магнитной восприимчивостью, электропроводностью.

Методика составления уравнений сепарации основана на объединении уравнений типа закона сохранения и баланса сил для конкретных условий рабочей зоны аппарата в систему, а далее на их совместном решении. Решение, если уравнение сводится к типовом; уравнению математической физики, выполняется аналитически, в противном случае численными методами. В итоге решения уравнений сепарации определяют фракционный состав материала в любой точке (х, у, z) рабочей зоны посредством функции состояния w(ξ, х, у, z, t).

Рассмотрим методику получения уравнения сепарации на примере отсадочной машины с естественной постелью. Пусть в вертикальном направлении х действуют силы:

тяжести

F грав = gρ;

среднестатистическая гравитационно-архимедова

40