Sivuhin-DV-Obschii-kurs-fiziki-Tom-1-Mehanika

234 МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ. VII

точки твердого тела (рис. 112), то расстояние между ними остается

в теле существует точка, скорость которой в этот момент времени равна нулю. (В § 47 будет показано, что такая точка существует для

произвольного плоского движения твердого тела.) Примем ее за

в теле остается прямой. Это справедливо и для прямой, соединяю­

которых в рассматриваемый момент времени равны нулю, называет­ ся мгновенной осью вращения. В нашем примере мгновенная ось про­ ходит через точку А. Словом «мгновенная» хотят подчеркнуть, что это понятие служит для описания распределения скоростей

только в какой-то заданный момент времени. В отличие от неподвиж­ ной оси, сохраняющей свое положение в теле и в пространстве,

мгновенная ось, вообще говоря, перемещается как в теле, так и в про­ странстве. Если получить моментальную фотографию распределе­ ния скоростей в теле, то по виду этой фотографии нельзя сказать, происходит ли вращение вокруг неподвижной или вокруг мгновен­ ной оси. Чтобы отличить эти два вращения, надо получить такие (фотографии по крайней мере в два различных момента времени.

3. Мгновенная ось служит для описания мгновенного распределе­ ния только скоростей. Той же осью нельзя пользоваться для опи­

распределение также в бесконечно близкий момент времени. А в этот момент может оказаться, что движение тела уже перестанет быть вращением вокруг прежней мгновенной оси.

Следующий простой пример хорошо разъясняет суть дела. Рассмотрим качение обруча или диска по плоскости без скольже­ ния (рис. 113). Отсутствие скольжения означает, что точка обруча А, которой он касается плоскости, в рассматриваемый момент непод­ вижна. Следовательно, движение обруча можно рассматривать как мгновенное вращение его вокруг мгновенной оси, проходящей через точку касания А. Распределение скоростей при таком дви­ жении показано на рис. 113. С течением времени в соприкосновение с плоскостью будут приходить другие точки обруча. При этом точка касания будет перемещаться по плоскости в ту же сторону, куда движется обруч. Это означает, что мгновенная ось переме­ щается как относительно катящегося обруча, так и относительно плоскости, по которой происходит качение. В этом и состоит смысл утверждения, что мгновенная ось перемещается как в теле, так и в пространстве. Допустим теперь, что качение происходит с постоян­ ной скоростью. Было бы грубой ошибкой вычислять ускорение по формуле а = —со2/?, понимая под R радиус-вектор, проведенный

2 3 6 М Е Х А Н И К А ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ. VII

от мгновенной оси к рассматриваемой точке обруча. Действительно, полная скорость v любой точки обруча векторно складывается из скорости Vc поступательного движения центра обруча С и ско­

dvBp

а = —^-. Поступательное движение не влияет на ускорение а. Оно

такое же, как и при вращении вокруг неподвижного центра, т. е. а »= —со2г, где радиус-вектор /"проведен из центра обруча О. Таким образом, при равномерном качении ускорение а направлено к центру обруча, а не к мгновенной оси.

§46. Угловая скорость как вектор. Сложение вращений

1.Пусть твердое тело вращается вокруг неподвижной или мгновенной оси OA с угловой скоростью о) (рис. 114). Возьмем какую-либо произвольную точку этого тела М, отстоящую от оси вра­

их из общего начала (рис. 115). Эти три вектора взаимно перпен­ дикулярны. Из рисунка видно, что

Эта формула является обобщением формулы (46.1), поскольку она определяет не только величину скорости v, но и ее направление. Вектор «о называется вектором угловой скорости, или просто угловой скоростью вращения. Таким образом, угловую скорость можно рас­ сматривать как вектор. Если расположить буравчик с правой на­ резкой параллельно оси вращения и вращать его в ту же сторону,

§ 46] УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ К А К ВЕКТОР . СЛОЖЕНИЕ ВРАЩЕНИЙ 237

в какую вращается само тело, то направление ввинчивания бурав­ чика укажет направление вектора со.

Формуле (46.3) можно придать более общий и удобный вид. Возьмем на оси вращения произвольную точку О в качестве начала

Из нее получаем v = cor sin Ф, что сов­ падает с формулой (46.1), так как

гsin "fr = Г_[_.

2.Что величина ю есть вектор — это не требует специального доказательства, поскольку она определена как векторное

произведение двух векторов. Векторный характер ю означает, разу­ меется, только то, что при повороте координатных систем проек­ ции «о на их оси преобразуются так же, как разности координат кон­ цов направленного геометрического отрезка. Над векторами угловых скоростей можно выполнять все математические операции, как над

стью <Й2 вокруг другой оси ОВ. Подчеркнем, что в общем случае речь идет о мгновенных вращениях и притом с нерелятивистскими скоростями. Первое вращение рассматривается в системе отсчета, в которой (в рассматри­

ваемый момент) ось OA неподвижна. Второе вращение рассмат­ ривается в другой системе отсчета — в той, в которой (в тот же момент) неподвижна ось ОВ. Сложить вращательные движения — значит ответить на вопрос, к какому движению приводит наложе­ ние этих двух вращений? При рассмотрении этого вопроса огра­ ничимся случаем, когда оси OA и ОВ пересекаются между собой.

Вопрос сводится к сложению линейных скоростей в аналогич­ ном физическом смысле (см. § 7; в нерелятивистской механике, как известно, сложение линейных скоростей производится по правилу параллелограмма). Произвольная точка твердого тела М с радиу­ сом-вектором г в результате первого вращения (вокруг оси OA) получает линейную скорость о х = \(ахг], а в результате второго вра­ щения (вокруг оси ОВ) —линейную скорость ©2 = [щг]. Резуль­ тирующая линейная скорость будет равна

Пусть точка М лежит на оси вектора <», т. е. на диагонали параллелограмма, построенного на векторах (ох и ю2 , или ее про­ должении. Тогда v = 0. Все точки указанной оси в рассматриваемый момент времени находятся в покое. Это объясняется тем, что все эти точки в результате первого вращения движутся в одну, а в ре­ зультате второго вращения — в противоположную сторону. Ре­ зультирующая линейная скорость получается равной нулю. Все прочие точки тела вращаются вокруг оси вектора о с угловой ско­ ростью со. Мгновенную линейную скорость любой точки тела можно вычислить по формуле (46.6). Это значит, что мгновенное результи­ рующее движение твердого тела есть вращение вокруг мгновенной оси ОС. Эта ось, вообще говоря, непрерывно перемещается как относительно самого твердого тела, так и относительно неподвиж­ ной системы отсчета, в которой рассматривается движение.

Итак, мы доказали, что два вращения с угловыми скоростями % и <о2 складываются (в рассматриваемом физическом смысле) в одно вращение вокруг мгновенной оси с угловой скоростью & = щ + ю2 . Мгновенная ось в каждый момент времени направлена вдоль диагонали параллелограмма, построенного на векторах (ог и <о2. Сложение под­ чиняется правилу параллелограмма. Физическое сложение в ука­ занном смысле оказалось тождественным с математическим.

3. Поясним изложенное наглядным примером. Пусть по поверхности не­ подвижного кругового конуса 2 катится без скольжения другой круговой конус / (рис. 117 и 118). Вершины обоих конусов все время находятся в одной и той же точке О. В рассматриваемом движении конус 1 вращается вокруг собственной оси OA с некоторой угловой скоростью Сама ось OA описывает коническую по­ верхность, вращаясь вокруг другой оси ОВ с угловой скоростью 0)2. Речь идет о сложении этих двух вращений. Так как скольжения нет, то все точки тела, лежащие на прямой ОС, по которой конусы касаются друг друга, неподвижны. Касательная ОС является поэтому мгновенной осью вращения нонуса / . Мгно-

240 М Е Х А Н И К А ТВЕРДОГО ТЕЛА [ГЛ. VII

Устремив точку О в бесконечность, получим предельный случай

Аналогично рассматривается случай, когда векторы (ах и ю2 напра­ влены противоположно. Если a>i > со2, то со = coi — а>2. Мгновен­

Рис. 120.

5 . Рассмотрим, наконец, сложение поступательного и вращатель­ ного движений. Если поступательное движение совершается парал­ лельно оси вращения, то при сложении, очевидно, получится винто­ вое движение. Достаточно поэтому ограничиться случаем, когда поступательное движение перпендикулярно к оси вращения. В этом случае все точки тела будут двигаться параллельно одной и той же плоскости, перпендикулярной к той же оси. Такое движение называется плоским. Плоскость, параллельно которой происходит движение, можно принять за плоскость рисунка. Поступательное движение можно рассматривать как вращение вокруг бесконечно удаленной оси. Поэтому разбираемый случай можно свести к сло­ жению двух вращений вокруг параллельных осей, удаляя одну из осей в бесконечность. Ясно, что в результате возникнет враще­ ние вокруг какой-то мгновенной оси. Задача сводится к определению положения мгновенной оси и угловой скорости мгновенного враще­ ния. Пусть тело вращается вокруг оси О с угловой скоростью со,

§ 46] УГЛОВАЯ СКОРОСТЬ КАК ВЕКТОР . С Л О Ж Е Н И Е В Р А Щ Е Н И Й 241

в бесконечность, одновременно уменьшая щ так, чтобы величина скорости v оставалась неизменной. В пределе вращение оси О

(см. § 7). Его проекции на координатные оси по определению даются

величин, как всегда, означает только то, что при повороте (но не инверсии) координатных систем их составляющие преобразуются так же, как разности координат концов направленного геометриче­ ского отрезка. Если направление оси вращения не меняется с те­ чением времени, то вектор <р направлен параллельно to, т. е. по оси вращения. Его длина численно равна углу поворота тела за рассматриваемый промежуток времени. Поэтому ф естественно назвать угловым поворотом тела. По величине угловой поворот пропорционален площади сектора ОАВ, описываемого каким-либо отрезком OA, перпендикулярным к оси вращения, при его переходе

скости сектора ОАВ, а его составляющие ф^, фу, ц>2 пропорциональны

совершает вращения вокруг различных осей, проходящих через неподвижную точку О (рис. 123). При таких вращениях она движет­ ся вдоль дуг больших кругов по поверхности сферы с центром в О. Пусть точка перешла из начального положения А в конечное по­ ложение В вдоль дуги большого круга АВ. Радиус-вектор точки при этом повернулся на угол фх . Затем точка совершила поворот на угол ф2 , перейдя по дуге большого круга ВС из положения В

в положение С. Каким одним поворотом можно заменить эти два поворота, чтобы перевести точку из того же начального по­ ложения Л в то же конечное положение С? Ясно, что таким поворотом будет враще­ ние точки по дуге большого круга, прохо­ дящей через точки Л и С. Обозначим соот­ ветствующий угол поворота ф3 . В соответ­ ствии со сказанным выше рассматриваемые три поворота можно изобразить векторами •Pi. Ч>2> Фз. перпендикулярными соответст­

Рис. 123. венно к плоскостям секторов ОАВ, ОВС и ОАС. Поворот фз можно назвать суммой поворотов фх и ф2 в рассматриваемом физическом смысле. Ясно,

что такое сложение не подчиняется правилу параллелограмма. Это видно уже из того, что в общем случае вектор ф3 не лежит в пло­ скости векторов ф! и ф2 .

Особенно очевидным станет это утверждение, если рассмотреть частный случай. За начальное положение материальной точки возьмем полюс Л (рис. 124). Затем по дуге меридиана А В совер­ шим первый поворот на угол <pt = 90°, переведя точку в положе-