Lectures 3-4 (B-3 BF) 2013
.pdf
Интегральная функция полезности
Life-time utility
Рассмотрим поведение репрезентативного агента, рожденного в момент времени t=0 и живущего T лет
Полезность от потребления в периоде t доставляет мгновенную полезность (instantaneous utility) u(Ct )
u ( ) |
|
0, u ( ) |
|
0 |
|
|
|
|
|
Предпочтения стабильны во времени (вид функции мгновенной полезности не меняется)
Однако индивид «нетерпелив»: полезность от потребления в будущем дисконтируется по норме ρ (норма субъективных межвременных предпочтений)
31 |
Потребление, инвестиции и финансовый рынок |
Интегральная функция полезности
Life-time utility
Таким образом полезность от потребления на протяжении жизни (интегральная полезность) задается как:
U C0 , , CT 1 u(C0 ) |
u(C1 ) |
|
u(C2 ) |
|
u(CT 1 ) |
|
(1 ) |
(1 )2 |
(1 )T 1 |
T 1 u(C )
(1 t )t
t 0
32 |
Потребление, инвестиции и финансовый рынок |
Модель межвременного выбора потребления
В каждый момент времени агент получает некоторый трудовой доход
Первоначально агент не имеет богатства и не оставляет наследства
Задача динамической оптимизации имеет вид:
2.13
(2.14)
T 1 u(C )
(1 t )t
t 0
T 1 C
(1 tr)t
t 0
max |
s.t. |
||
ct |
|
|
|
T 1 |
|
Yt |
|
|
|
|
|
(1 |
r) |
t |
|
t 0 |
|
||
33 |
Потребление, инвестиции и финансовый рынок |
2.13
(2.14)
(2.15)
34
T 1 u(C )
(1 t )t
t 0
T 1 C
(1 tr)t
t 0
max |
s.t. |
||
ct |
|
|
|
T 1 |
|
Yt |
|
|
|
||
(1 |
r)t |
||
t 0 |
|||
T 1 u(C )
t
t 0 (1 )t
T 1 |
Yt |
|
|
T 1 |
Ct |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
t |
||||
|
(1 r) |
|
|
(1 r) |
|
|
|
t 0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
u (Ct ) |
|
|
|
0 |
t |
|||||||||||
|
C |
(1 )t |
|
(1 r)t |
|
||||||||||||||
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||
|
|
|
|
u (Ct 1 ) |
|
|
0 |
||||||||||||
|
C |
|
|
(1 )t 1 |
(1 r)t 1 |
||||||||||||||
|
t 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
1 r |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
u (Ct |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
u (Ct 1 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Потребление, инвестиции и финансовый рынок
Уравнением Эйлера (правило Рамсея-Кейнса)
(2.15) |
u (Ct ) |
|
|
1 r |
|
u (C |
) |
1 |
|||
|
t 1 |
|
|
|
|
Нормируем стоимость единицы потребления в периоде t к 1
Тогда (1+r)-1 является стоимостью единицы потребления в периоде t+1
С учетом субъективного фактора дисконтирования, отношение предельных полезностей (MRS) потребления в периодах t и t+1 в точке оптимума должно равняться отношению соответствующих стоимостей
35 |
Потребление, инвестиции и финансовый рынок |
Эффект межвременного замещения
потребления
(2.15) |
u (Ct ) |
|
|
1 r |
|
u (C |
) |
1 |
|||
|
t 1 |
|
|
|
|
Увеличение ставки процента снижает относительную стоимость потребления в периоде t+1 и увеличивает отношение предельной полезности потребления в периоде t к предельной полезности потребления в периоде t+1
С учетом убывания предельной полезности, это приведет к желанию потреблять меньше в периоде t, и больше в периоде t+1
36 |
Потребление, инвестиции и финансовый рынок |
Эффект дохода
(2.15) |
u (Ct ) |
|
|
1 r |
|
u (C |
) |
1 |
|||
|
t 1 |
|
|
|
|
Увеличение ставки процента увеличивает капитальный доход в периоде t+1, а следовательно и общий доход
Это дает возможность увеличения потребления в обоих периодах
Эффекты межвременного замещения и дохода характеризуются противоположным воздействием на потребление в периоде t
Традиционно предполагается, что эффект замещения доминирует над эффектом дохода
37 |
Потребление, инвестиции и финансовый рынок |
Динамика потребления
(2.15) |
u (Ct ) |
|
|
1 r |
|
u (C |
) |
1 |
|||
|
t 1 |
|
|
|
|
Если r > ρ, потребление репрезентативного агента будет возрастать на протяжении жизни
Если r < ρ, потребление будет снижаться на протяжении жизни
Если r = ρ, оптимальное поведение репрезентативного агента характеризуется выбором постоянного уровня потребления на протяжении всей жизни
Существенно, что данные выводы никак не связаны с траекторией трудового дохода
38 |
Потребление, инвестиции и финансовый рынок |
Гипотеза перманентного дохода
Permanent Income Hypothesis
Friedman M. (1957) A Theory of the Consumption Function. Princeton University Press: Princeton.
Hall R. E. (1978) “Stochastic Implications of the Life Cycle - Permanent Income Hypothesis: Theory and Evidence”.
Journal of Political Economy, 86(6), pp. 971-87.
39 |
Потребление, инвестиции и финансовый рынок |
PIH
Рассмотрим репрезентативного агента, живущего T лет
Предположим для простоты, что r = ρ = 0
Задача потребителя имеет вид:
|
T 1 |
|
|
(2.16) |
u(Ct |
) max |
|
|
t 0 |
|
Ct |
|
|
|
|
|
T 1 |
|
T 1 |
(2.17) |
Ct |
Yt |
|
|
t 0 |
|
t 0 |
FOC (2.15) принимает вид:
(2.18) u (Ct ) u (Ct 1 ) t
40 |
Потребление, инвестиции и финансовый рынок |