4. Накопление капитала

В соответствии с моделью, у капитала есть две особенности:

1) Капитал зависит от инвестиций; (положительная зависимость)

2) Капитал убывает в зависимости от износа (порчи) – отрицательная зависимость;

- Солоу решил, что капитал берётся из инвестиций (I), а инвестиции берутся из сбережений, которые составляют часть ВВП, который сохраняет население (собственно, логично, ведь люди всегда стараются сберегать часть своих доходов). Поскольку в долгосрочном состоянии рынок товаров и услуг близок к равновесному состоянию, все производимые продукты реализуются на рынке и конвертируются в совокупный доход (и государства, и частного сектора), то есть Y=Доход. Соответственно, S= σ*Y. Считается, что все сбережения направляются в инвестиции. То есть S=I, значит I= σ*Y (соответственно, то что люди решили не сберегать – отправляется на потребление:

С= (1- σ)*Y )

- Но капитал (основные фонды) имеют свойство портиться. Соответственно, нужно это математически как-то заложить. Солоу решил, что эта зависимость линейная и представил износ, как постоянную долю от имеющегося капитала: δ K, где «δ» - процент износа оборудования за единицу времени.

Таким образом, изменение капитала зависит от прироста инвестиций и износа оборудования:

ΔK = I – δK и, подставляя выражение выше получаем ΔK = σ *Y – δ*K

А теперь, поскольку нас интересует именно ВВП на душу населения преобразуем исходное уравнение совокупного ВВП в термины подушевого. Разделим всё уравнение на население:

Y=A*K^α*L^1-α => Y/L=A*(K^α*L^1-α)/L= A*(K^α/L^α)= A*(K/L)^α

Y/L = A*(K/L)^α, Y/L – ВВП на душу населения, K/L – капитал на душу населения (более грамотно по-русски, капиталовооружённость)

Теперь, чтобы не возиться вечно с этими дробями, давайте сделаем тоже самое на языке математики, пусть y = Y/L, а k = K/L

Вуаля!

y = A*k ^α,

Формуле прибавилось изящества, не правда ли?

Из этого выражения видно гораздо лучше, что рост ВВП на душу не зависит от населения страны, а только от капиталовооружённости:

y = f(k) – это функция предложения страны (AS)

Продолжим переобозначения дальше:

i= σ*y (инвестиции на душу населения);

с=(1- σ)*y (подушевое потребление) – функция спроса в стране (AD)

Условия равенства спроса и предложения могут быть представлены как

ƒ(k)= с+i или ƒ(k)= i/σ.

Тангенс утла наклона данной производственной функции соответствует предельному продукту капитала (МРК = ), который убывает по мере роста фондовооруженности (k) – т.е. производная первого порядка меньше 0.

Рис. 1

с – потребление на душу.

i – инвестиции на душу.

f(k) – Подушевой доход. То что индивид не сберегает (i= σ y) он потребляет (c )

5. Уравнение капиталовооружённости

Для простоты пока что не будем рассматривать рост населения и рост технологий, этим мы займёмся позже.

Рассмотрим подробнее как происходят изменения в капиталовооружённости (во времени)¹. Не будем расписывать преобразования, их логика проста: берём уравнение изменения капитала во времени:= σ *Y – δ*K, делим на L, заменяем на новые обозначения и получаем следующее:

= ƒ(k) - δ k

Смотрим внимательно на это выражение. Производная f(k)<0 (уменьшающийся предельный продукт), производная σk= σ, о чём это говорит? О том, что скорость роста первой функции отрицательная, а скорость роста второй функции положительная и вторая первую рано или поздно обгонит и перегонит. Значит, когда-нибудь наступит такой момент, когда величина изнашиваемого капитала станет такой большой, что инвестиции смогут только покрывать износ, а новые капитальные мощности произвести не удастся.

ƒ(k) = δ k

После этого запас капитала на одного занятого (фондовооруженность) не будет меняться во времени, поскольку две действующие на него силы уравновесят друг друга

(=0).

Уровень запаса капитала, при котором инвестиции равны выбытию, называется равновесным (устойчивым) уровнем фондовооруженности труда и обозначается k*.

При достижении k* экономика находится в состоянии долгосрочного равновесия.