Тема 4 (Формула полной вероятности и ф Байеса)

Формула полной вероятности. Формула Бейеса

1. Имеется два одинаковых ящика с шарами. В первом ящике 4 белых и 6 красных шаров, во втором 5 белых и 10 красных. Наудачу выбирают один ящик и извлекают из него шар. Какова вероятность того, что извлеченный шар окажется белым?

2. Предприятие имеет три источника поставки комплектующих – фирмы А, В, С. на долю фирмы А приходится 50% общего объема поставок, В – 30% и С – 20%. Из практики известно, что 10% поставляемых фирмой А деталей – бракованные, В – 5% и С – 6%. Какова вероятность того, что наугад взятая деталь стандартная?

3. В студенческой группе 20 человек. из них 4 человека сдали экзамен по высшей математике на «отлично», 11 на «хорошо» и 5 на «удовлетворительно». Вероятность решить предложенную задачу для отличника составляет 0.9, для хорошиста 0.8, для троечника 0.7. Определить вероятность того, что наудачу выбранный студент не решит задачу.

4. В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму такова: для лыжника 0.9, для велосипедиста 0.8 и для бегуна 0.75. Найти вероятность того, что наудачу выбранный спортсмен не выполнит норму.

5. В первой урне 3 белых и 7 черных шаров, во второй – 6 белых и 4 черных шаров. Из второй урны в первую переложили один шар, а затем из первой урны вынули наугад один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар ранее находился во второй урне, если известно, что он белый.

6. Для участия в студенческих отборочных спортивных соревнованиях выделено из первой группы второго курса 4 студента, из второй группы 6 студентов, из третьей группы 5 студентов. Вероятности того, что студент первой, второй и третьей группы попадет в сборную института, соответственно равны 0.6, 0.9, 0.5. Найти вероятность того, что наудачу выбранный студент не попадет в сборную.

7. В первом ящике 20 деталей, из них 15 стандартные. Во втором ящике 25 деталей, из них 20 стандартные. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная деталь из наудачу взятого ящика – стандартная.

8. Сборщик получил 5 коробок деталей изготовленных заводом №1 и 4 коробки деталей, изготовленных заводом №2. Вероятность того, что деталь завода №1 стандартна равна 0.9, а завода №2 – 0.72. Сборщик наудачу извлек деталь из наудачу взятой коробки. Найти вероятность того, что извлечена стандартная деталь.

9. В студенческой группе 25 человек. из них 5 человека сдали экзамен по высшей математике на «отлично», 12 на «хорошо» и 8 на «удовлетворительно». Вероятность решить предложенную задачу для отличника составляет 0.9, для хорошиста 0.8, для троечника 0.7. Определить вероятность того, что наудачу выбранный студент решит задачу.

10. На заводе изготовляют комплектующие детали. Первая машина производит 25% всех изделий, вторая 35%, третья 40%. Брак составляет соответственно 5%, 4% и 10%. Какова вероятность того, что случайно выбранная деталь имеет дефект?

11. В группе спортсменов 15 лыжников, 9 велосипедистов и 6 бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму такова: для лыжника 0.95, для велосипедиста 0.9 и для бегуна 0.7. Найти вероятность того, что наудачу выбранный спортсмен выполнит норму.

12. Для участия в студенческих отборочных спортивных соревнованиях выделено из первой группы второго курса 5 студентов, из второй группы 4 студента, из третьей группы 6 студентов. Вероятности того, что студент первой, второй и третьей группы попадет в сборную института, соответственно равны 0.6, 0.9, 0.7. Найти вероятность того, что наудачу выбранный студент попадет в сборную.

13. Предприятие имеет три источника поставки комплектующих – фирмы А, В, С. на долю фирмы А приходится 45% общего объема поставок, В – 25% и С – 30%. Из практики известно, что 10% поставляемых фирмой А деталей – бракованные, В – 8% и С – 7%. Какова вероятность того, что взятая наугад и оказавшаяся бракованной деталь получена от фирмы А?

14. В первом ящике 30 деталей, из них 20 стандартные. Во втором ящике 20 деталей, из них 15 стандартные. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная деталь из наудачу взятого ящика – бракованная.

15. Имеется два одинаковых ящика с шарами. В первом ящике 10 белых и 5 черных шаров, во втором 3 белых и 7 черных. Наудачу выбирают один ящик и извлекают из него шар. Какова вероятность того, что извлеченный шар окажется белым?

16. Сборщик получил 4 коробки деталей изготовленных заводом №1 и 6 коробок деталей, изготовленных заводом №2. Вероятность того, что деталь завода №1 стандартна равна 0.7, а завода №2 – 0.8. Сборщик наудачу извлек деталь из наудачу взятой коробки. Извлечена стандартная деталь. Определить вероятность того, что она изготовлена заводом №2.

17. На заводе изготовляют комплектующие детали. Первая машина производит 30% всех изделий, вторая 50%, третья 20%. Брак составляет соответственно 7%, 6% и 10%. Какова вероятность того, что случайно выбранная деталь стандартная?

18. Предприятие имеет три источника поставки комплектующих – фирмы А, В, С. на долю фирмы А приходится 40% общего объема поставок, В – 25% и С – 35%. Из практики известно, что 10% поставляемых фирмой А деталей – бракованные, В – 4% и С – 6%. Какова вероятность того, что наугад взятая деталь бракованная?

19. В первой урне 5 белых и 15 черных шаров, во второй – 13 белых и 7 черных шаров. Из второй урны в первую переложили один шар, а затем из первой урны вынули наугад один шар. Определить вероятность того, что вынутый шар – белый.

20. В студенческой группе 20 человек. из них 4 человека сдали экзамен по высшей математике на «отлично», 11 на «хорошо» и 5 на «удовлетворительно». Вероятность решить предложенную задачу для отличника составляет 0.9, для хорошиста 0.8, для троечника 0.7. Наудачу выбранный студент решил задачу. Определить вероятность того, что это отличник.

21. Имеется два одинаковых ящика с шарами. В первом ящике 14 белых и 6 красных шаров, во втором 15 белых и 10 красных. Наудачу выбирают один ящик и извлекают из него шар. Какова вероятность того, что извлеченный шар окажется красным?

22. В группе спортсменов 20 лыжников, 6 велосипедистов и 4 бегуна. Вероятность выполнить квалификационную норму такова: для лыжника 0.9, для велосипедиста 0.8 и для бегуна 0.75. Наудачу выбранный спортсмен выполнил норму. Определить вероятность того, что это велосипедист.

23. На заводе изготовляют комплектующие детали. Первая машина производит 25% всех изделий, вторая 35%, третья 40%. Брак составляет соответственно 6%, 4% и 9%. Случайно выбранная деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что она была произведена первой машиной?

24. Для участия в студенческих отборочных спортивных соревнованиях выделено из первой группы второго курса 4 студента, из второй группы 6 студентов, из третьей группы 5 студентов. Вероятность того, что студент первой, второй и третьей группы попадет в сборную института, соответственно равна 0.6, 0.8, 0.5. Наудачу выбранный студент попал в сборную. Определить вероятность того, что это студент из первой группы.

25. Сборщик получил 6 коробок деталей изготовленных заводом №1 и 4 коробки деталей, изготовленных заводом №2. Вероятность того, что деталь завода №1 стандартна равна 0.8, а завода №2 – 0.75. Сборщик наудачу извлек деталь из наудачу взятой коробки. Найти вероятность того, что извлечена бракованная деталь.

26. На заводе изготовляют комплектующие детали. Первая машина производит 40% всех изделий, вторая 35%, третья 25%. Брак составляет соответственно 5%, 4% и 9%. Случайно выбранная деталь оказалась стандартной. Какова вероятность того, что она была произведена третьей машиной?

27. Имеется два одинаковых ящика с шарами. В первом ящике 10 белых и 15 черных шаров, во втором 13 белых и 17 черных. Наудачу выбирают один ящик и извлекают из него шар. Какова вероятность того, что извлеченный шар окажется черным?

28. Предприятие имеет три источника поставки комплектующих – фирмы А, В, С. на долю фирмы А приходится 35% общего объема поставок, В – 25% и С – 40%. Из практики известно, что 10% поставляемых фирмой А деталей – бракованные, В – 5% и С – 7%. Какова вероятность того, что взятая наугад и оказавшаяся стандартной деталь получена от фирмы В?

29. В первой урне 15 белых и 5 черных шаров, во второй – 14 белых и 6 черных шаров. Из второй урны в первую переложили один шар, а затем из первой урны вынули наугад один шар. Определить вероятность того, что вынутый шар – черный.

30. Сборщик получил 14 коробок деталей изготовленных заводом №1 и 16 коробок деталей, изготовленных заводом №2. Вероятность того, что деталь завода №1 стандартна равна 0.75, а завода №2 – 0.8. Сборщик наудачу извлек деталь из наудачу взятой коробки. Извлечена нестандартная деталь. Определить вероятность того, что она изготовлена заводом №1.