Matanaliz

Означення 18.4. Якщо iснує

lim σ(f, T, Y ),

λ(T )→0

яка не залежить нi вiд способу розбиття вiдрiзка [A, B] на частини, нi вiд вибору точки на кожному з елементарних вiдрiзкiв, то її називають iнтегралом Лебега функцiї f по множинi E i позначають

Z

(L) f(x)dm(x),

E

а про функцiю f кажуть, що вона iнтегровна за Лебегом на множинi E.

Приклад 1. Довести, що функцiя Дiрiхле

(

0, якщо x — iррацiональне число,

D(x) =

1, якщо x — рацiональне число

iнтегровна за Лебегом на вiдрiзку [0; 1], i що

Z

(L) D(x)dm(x) = 0.

[0;1]

Розв’язання. Очевидно, що вiдрiзок [0; 1] є вимiрна множина, а функцiя D(x) вимiрна на ньому. Справдi, для c 6 0

{x | x [0, 1], D(x) < c} = ,

для c (0; 1]

{x | x [0; 1], D(x) < c} = {x | x [0; 1], x є iррацiональним },

для c > 1

{x | x [0; 1], D(x) < c} = [0; 1],

251

тобто для будь-якого c R множина {x | D(x) < c} є вимiрною. Нехай A = −1, B = 2. Тодi для будь-якого розбиття T =

{y0, y1, . . . , yn} Ek1 = {x | x [0; 1], x — iррацiональне число}, Ek2 = {x | x [0; 1], x — рацiональне число}, де k1 — номер того

елементарного вiдрiзка, для якого 0 [yk1−1, yk1 ], k2 — номер того елементарного вiдрiзка, для якого 1 [yk2−1, yk2 ], для всiх останнiх k Ek = . Отже,

σ(f, T, Y ) = yk1 mEk1 = yk1 ,

Теорема 18.1. Якщо визначена на вимiрнiй множинi E функцiя f обмежена i вимiрна, то вона iнтегровна на цiй множинi.

Доведення. Для кожного розбиття T можна побудувати двi суми

Суми першого типу називають нижнiми iнтегральними сумами Лебега, а суми другого типу — верхнiми iнтегральними сумами Лебега (аналог сум Дарбу). Очевидно, що множина нижнiх сум Лебега обмежена зверху, а множина верхнiх сум Лебега обмежена знизу. Отож iснують

252

Якщо врахувати, що

будь-якого розбиття T i будь-якого вибору точок з кожного елементарного вiдрiзка

s(f, T ) 6 σ(f, T, Y ) 6 S(f, T ),

то lim σ(f, T, Y ) = I. А це й означає, що функцiя f iнтегровна

λ(T )→0

за Лебегом на множинi E.

Зауваження. Не важко обгрунтувати коректнiсть означення iнтеграла Лебега, тобто незалежнiсть границi iнтегральних сум вiд вибору вiдрiзка [A, B], всерединi якого мiстяться всi значення обмеженої вимiрної функцiї (див. [1, с. 82]).

Теорема 18.2. Якщо визначена на вимiрнiй множинi E функцiя f обмежена i вимiрна, то має мiсце нерiвнiсть

Z

a mE 6 (L) f(x)dm(x) 6 b mE, (18.1)

E

де a = inf f(x), b = sup f(x).

x E x E

Доведення. Насамперед, з умови теореми вiдразу випливає iнтегровнiсть функцiї f. Якщо m — натуральне число, то a−m1 <

253

a i b < b + m1 i для всiх x з E a − m1 < f(x) < b + m1 . Нехай T довiльне розбиття вiдрiзка [a − m1 , b + m1 ] на частини. Тодi для

k = 1, n

Якщо тепер перейти до границi спочатку при λ(T ) → 0, а потiм при m → ∞, то отримаємо нерiвнiсть (18.1).

Теорема 18.3 (лiнiйнiсть iнтеграла Лебега). Якщо функцiї f i g iнтегровнi за Лебегом на множинi E, а α i β є довiльнi дiйснi числа, то функцiя αf + βg iнтегровна на E, причому

Z

(L) (αf(x) + βg(x))dm(x) =

E

Z Z

= (L) α f(x)dm(x) + (L) β g(x)dm(x). (18.2)

E E

Теорема 18.4 (адитивнiсть iнтеграла Лебега). Якщо функцiя f iнтегровна за Лебегом на множинi E, то вона iнтегровна на множинах E(1), E(2), де E(1), E(2) — вимiрнi пiдмножини множини E такi, що E(1) ∩ E(2) = , E(1) E(2) = E, причому

254

Доведення. Нехай E(1) — вимiрна пiдмножина вимiрної множини E. Тодi для будь-якого c R множина

{x | x E(1), f(x) < c} = E(1) ∩ {x | x E, f(x) < c}

є вимiрною як перетин двох вимiрних множин. Таким чином, звуження f(1) функцiї f на вимiрну пiдмножину E(1) є вимiрною функцiєю на E(1). Точно так саме звуження f(2) функцiї f на вимiрну пiдмножину E(2) є вимiрною функцiєю на E(2). З обмеженостi i вимiрностi функцiї f на вимiрних множинах E(1) i E(2) випливає iснування iнтегралiв

Залишається показати, що має мiсце рiвнiсть (18.3). Нехай для всiх x E A < f(x) < B, i нехай T — розбиття вiдрiзка [A, B] на частини. Тодi для кожного елементарного вiдрiзка [yk−1, yk] множина

Ek = {x | x E, yk−1 6 f(x) < yk}

подається як об’єднання двох вимiрних множин

Ek(1) = {x | x E(1), yk−1 6 f(x) < yk},

Ek(2) = {x | x E(2), yk−1 6 f(x) < yk},

причому цi множини не мають спiльних точок. Звiдси випливає,

що

mEk = mEk(1) + mEk(2),

а також

nn

XX

=yk mEk(1) + yk mEk(2) = S(f(1), T ) + S(f(2), T ).

255

Якщо в останнiй рiвностi перейти до границi при λ(T ) → 0, то дiстанемо рiвнiсть (18.3).

Оскiльки функцiя f обмежена, то iснує M > 0 таке, що для всiх

∞

x E |f(x)| 6 M. Нехай E = S E(n), де E(n) (n = 1, 2, . . .)

n=1

— вимiрнi пiдмножини вимiрної множини E i Ei ∩ Ej = при i 6= j. Тодi в силу зчисленної адитивностi мiри Лебега

∞

X

mE = mE(n),

n=1

256

А оскiльки для кожного n

Отже, ми показали, що для будь-якого ε > 0 iснує n0 таке, що для всiх n > n0 виконується нерiвнiсть

n=1 E(n)

257

збiгається, i його сума дорiвнює

Z

(L) f(x)dm(x).

E

Теорема доведена.

Теорема 18.6. Якщо функцiя f iнтегровна на вiдрiзку [a, b] за Рiманом, то вона iнтегровна на цьому вiдрiзку i за Лебегом, причому

b

ZZ

Доведення. Якщо функцiя f iнтегровна за Рiманом на вiдрiзку [a, b], то вона обмежена (необхiдна умова збiжностi) i вимiрна на цьому вiдрiзку. А, отже, вона iнтегровна за Лебегом на вiдрiзку [a, b]. Залишається довести, що має мiсце рiвнiсть (18.5). Нехай τ = {x0, x1, . . . , xn}, де a = x0 < x1 < · · · < xn = b, розбиття вiдрiзка [a, b] на частини. На кожному промiжку [x0, x1), [x1, x2), . . ., [xn−2, xn−1), [xn−1, xn) функцiя f обмежена i вимiрна, а, отже, iснують iнтеграли Лебега

258

Тодi за теоремою 18.2 мають мiсце нерiвностi

Z

m1m[x0, x1) 6 (L) f(x)dm(x) 6 M1m[x0, x1),

[x0,x1)

Z

m2m[x1, x2) 6 (L) f(x)dm(x) 6 M2m[x1, x2),

[x1,x2)

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

Якщо врахувати, що m[x0, x1) = x1 − x0 = 4x1, m[x1, x2) = x2 − x1 = 4x2, . . . , m[xn−2, xn−1) = xn−1 − xn−2 = 4xn−1, m[xn−1, xn] = xn −xn−1 = 4xn, i скласти цi нерiвностi, то будемо мати нерiвнiсть

[a,b]

259

де s(f, τ), S(f, τ) вiдповiдно нижня i верхня суми Дарбу, побудованi для функцiї f при розбиттi τ. А оскiльки

А отже, має мiсце рiвнiсть (18.5).

Зауваження. Якщо врахувати, що обмежена на вiдрiзку

її точок розриву дорiвнює нулю, то при обчисленi iнтеграла Рiмана можна перейти до iнтеграла Лебега, який вдається обчислити, скориставшись зчисленною адитивнiстю. Якщо ж врахувати, що iнтеграли Лебега вiд еквiвалентних функцiй рiвнi мiж собою, то при обчисленнi iнтеграла Лебега розривної функцiї можна спробувати перейти до неперервної функцiї еквiвалентної данiй i обчислити iнтеграл Рiмана неперервної функцiї.

260