Matanaliz

де k Z, то степеневою функцiєю w = zα є вiдповiднiсть, яка кожному z 6= 0 вiдносить множину чисел

{ea ln |z|−b arg z−2kπb(cos(b ln |z| + a arg z + 2kπa) +

+i sin(b ln |z| + a arg z + 2kπa)) | k Z},

i тiльки, коли α є цiлим числом функцiя w = zα є однозначною. Наприклад, функцiя

w= zi = e−(arg z+2kπ)(cos ln |z| + i sin ln |z|)

єнескiнченно-значною, i для фiксованого z всi можливi її значення розташовуються на променi arg w = ln |z|, причому їх модулi утворюють двi геометричнi прогресiї iз знаменниками e−2π i e2π. Зокрема, якщо |z| = 1, то всi цi значення дiйснi. Очевидно також, що

тобто значення функцiї w = zi, якi вiдповiдають додатним k, збiгаються до точки w = 0, а тi, якi вiдповiдають вiд’ємним k збiгаються до точки w = ∞.

Нескiнченнозначною степенева функцiя w = zα буде у випадку, коли α — iррацiональне число. Якщо ж α — рацiональне, то ця функцiя скiнченнозначна. Справдi, якщо α = pq , де p Z,

q N, (|p|, 1) = 1, то

α Ln z = pq ln |z| + ipq (arg z + 2kπ),

де k Z, i в силу перiодичностi функцiї ez маємо:

zα = eα Lnz = {epq ln |z|+i pq (arg z+2kπ) | k = 0, 1, . . . , q − 1}.

341

Врахувавши той факт, що функцiя w = z аналiтична на всiй комплекснiй площинi, i скориставшись правилом диференцiювання добуiку, легко переконатись, що для функцiї w = zn w0 = nzn−1, тобто степенева функцiя з натуральним показником аналiтична на всiй комплекснiй площинi.

Якщо ж α — рацiональне, зокрема α = 1 , то функцiя w =

√ n

n z для z 6= 0 є n-значною (її доозначають однозначно у точцi z = 0), i тому дослiдження ведуть для окремих гiлок цiєї функцiї, видiлених на деякiй областi D. Як правило, за область D беруть комплексну площину з розрiзом по вiд’ємнiй частинi дiйсної осi. У цiй областi iснує n рiзних вiток

де 2kπ − π < Arg z < −π + 2(k + 1)π, k = 0, 1, . . . , n − 1, функцiї

√ k

w = n z. Кожна з цих вiток взаємно однозначно вiдображає область D на один iз секторiв

при обходi за годинниковою стрiлкою. Пiсля n-кратного обходу

навколо початку координат в одному напрямку значення фун-

√

кцiї n z, переходячи вiд однiєї гiлки до iншої, повернеться до

n

342

√

Тодi значення цiєї гiлки функцiї 4 z у точцi z = −i дорiвнює

3π Arg1(−i) = 2

343

Якщо α не є рацiональним, то функцiя

w = zα = eα Lnz = eα(ln z+2kπi),

де ln z = ln |z| + i arg z, нескiнченнозначна. Знову за область D вiзьмемо комплексну площину з розрiзом вздовж вiд’єм-

Отже, кожна гiлка (zα)k є аналiтичною функцiєю на областi D.

Приклад 2. У площинi (z) з розрiзом вздовж вiд’ємної частини дiйсної осi знайти значення гiлки функцiї w = zi та її похiдної у точцi z = 1 + i, якщо ii = e−π2 .

Розв’язання. Оскiльки

ii = ei(ln |i|+i π2 )+i2kπ = e−π2 −2kπ,

де k Z, то ii = e−π2 при k = 0. Отже, (zi)0 = e− arg zei ln |z| шукана гiлка. Тодi

((1 + i)i)0 = e−π4 ei ln √2 = e−π4 (cos ln √2 + i sin ln √2).

Оскiльки похiдна цiєї гiлки має вигляд

(zi)00 = i(zi−1)0 = ie(i−1) ln z = ie(i−1)(ln |z|+i arg z),

то її значення у точцi z = 1 + i дорiвнює

344

На закiнчення декiлька зауважень щодо рiвнянь, що мiстять степеневi функцiї. Це, насамперед, алгебраїчнi рiвняння

a0xn + a1xn−1 + · · · + an−1x + an = 0,

де a0, a1, . . . , an−1, an — коефiцiєнти рiвняння (дiйснi або комплекснi числа), a0 6= 0, n > 1. В силу основної теореми алгебри таке рiвняння над полем комплексних чисел з врахуванням кратностi має рiвно n коренiв.

Популярними у шкiльному курсi математики є iррацiональнi рiвняння F (x) = 0, де F (x) — алгебраїчна функцiя, яка мiстить радикали. Звичайно степенева функцiя може входити до складу i показникового, i логарифмiчного, i взагалi будь-якого рiвняння. Так що видiлити клас рiвнянь, якi слiд було назвати степеневими напевно неможливо.

Завдання для самоконтролю.

1. Скориставшись означенням степеневої функцiї

xα := eα ln x

дослiдити її i побудувати графiки при рiзних значеннях показника степеня α.

2.Проаналiзувати означення степеневої функцiї, яке запропоновано у шкiльному пiдручнику. Чим рiзниця воно вiд запропонованих вище?

3.Порiвняйте властивостi функцiй

а) y = x, y = x3, y = x5; б) y = x2, y = x4, y = x6; в) y = x−2, y = x−3.

345

4. Знайти образ координатної сiтки при вiдображеннi

w= z2.

5.Довести, що степенева функцiя w = zα буде однозначною, якщо α Z, нескiнченнозначною, якщо α — iррацiональне.

6.Довести, що при фiксованому z рiзнi значення степеневої функцiї w = zα, де α = a + bi, a 6= 0, b 6= 0, лежать на колах, радiуси яких утворюють двi нескiнченнi геометричнi прогресiї, а аргументи цих значень — двi нескiнченнi арифметичнi прогресiї.

7.Довести, що при фiксованому z значення степеневої функцiї w = zπ лежать на колi |w| = rπ, причому множина цих значень скрiзь щiльна на цьому колi.

8.Означимо логарифм при будь-якiй основi a 6= 0 так

Ln z ln z + 2kπi

Logaz := Ln a = ln a + 2nπi,

де k, n Z. Чи iснує такий показник степеня α, що 1α = 100?

9.Означимо показникову функцiю w = az при будь-якому a 6= 0 так

az := ez Lna.

Знайти всi розв’язки рiвнянь:

а) (−1)z = 1z; б) ez = 1z; в) iz = 1z.

346

24 ЛЕКЦIЯ: Тригонометричнi та оберненi триго-

нометричнi функцiї дiйсної та комплексної змiнної

Класичне означення тригонометричних функцiй дiйсної змiнної, основнi властивостi. Оберненi тригонометричнi функцiї, їх властивостi. iншi пiдходи до означення тригонометричних функцiй. Тригонометричнi функцiї комплексної змiнної, їх властивостi. Тригонометричнi рiвняння та нерiвностi.

Лiтература. [1], ч. 3, с. 252–257; [3], т. 1, с. 105–106; [4], с. 92–99; [8], с. 18–123; [9], ч. 2, с. 356–358; Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. ч. 1. М.: Наука, 1971, с. 120–125, 139–148; Феферман С. Числовые системы. Основания алгебры и анализа. М.: Наука, 1971, с. 422–429.

Термiн „тригонометричнi функцiї“ означає клас елементарних функцiй, до складу якого входять функцiї : y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x, y = sec x, y = cosec x. А оскiльки

tg x := cossin xx, ctg x := cossin xx, sec x := cos1 x, cosec x := sin1 x,

то природно основну увагу зосередити на функцiях : y = sin x, y = cos x. Слiд також зазначити, що класичне означення цих функцiй має геометричне походження, точнiше воно грунтується на поняттях кута i його мiри, а тому нагадаємо саму необхiдну iнформацiю щодо вимiрювання кутiв.

Геометричним кутом називають частину площини, обмеженої двома променями, якi виходять з однiєї точки (вершини кута), зокрема кут, сторони якого лежать на однiй прямiй, називається розгорнутим. За одиницю вимiрювання геометричних кутiв приймають градус, який вважають мiрою кута, що становить 1801 частину розгорнутого. Очевидно, що мiрою геометричного кута може бути будь-яке число вiд 0◦ до 360◦.

347

Однак для побудови теорiї тригонометричних функцiй як функцiй числових бiльш зручним є так зване радiанне вимiрювання кутiв, яке вводиться так. Нехай маємо деякий поки-що геометричний кут. Опишемо коло з центром у вершинi кута радiуса R. Тодi стосовно цього кола заданий кут є центральним кутом, а та частина кола, яка розташована всерединi кута, називається дугою кола, на яку вiн спирається. Виявляється, що вiдношення довжини такої дуги до радiуса не залежить вiд радiуса i тому може бути прийняте за мiру заданого кута, зокрема, якщо взяти коло з радiусом 1, то мiрою кута буде довжина дуги на яку вiн спирається як центральний кут. За одиницю вимiрювання кутiв приймають радiан, який вважають мiрою кута, для якого вiдповiдний центральний кут спирається на дугу одиничного кола, довжина якої дорiвнює 1 (на дугу кола, довжина якої дорiвнює радiусу). Очевидно, що радiанну мiру має кожний геометричний кут, зокрема мiра розгорнутого кута дорiвнює π. Якщо позначити через θd i θr мiру кута θ вiдповiдно в градусах i в радiанах, то, враховуючи, що π радiан = 180◦, маємо

Вимiрювання кутiв довжиною дуги одиничного кола дає можливiсть узагальнити поняття кута так, що для будь-якого t R iснує кут, мiра якого дорiвнює t. З цiєю метою на одиничному колi фiксуємо точку P0 i вважаємо, що промiнь OP0 (O — центр кола) є фiксованою стороною кута з вершиною O. Якщо t > 0, то, знайшовши на одиничному колi точку Pt, вiдстань якої вiд точки P0 вздовж одиничного кола у додатному напрямку (проти годинникової стрiлки) дорiвнює t, вважаємо, що промiнь OPt є другою стороною кута, мiра якого дорiвнює t радiан. Якщо ж t < 0, то, знайшовши на одиничному колi точку Pt, вiдстань якої вiд точки P0 вздовж одиничного кола у вiд’ємному напрямку (за годинниковою стрiлкою) дорiвнює |t|, вважаємо, що промiнь OPt є другою стороною кута, мiра якого дорiвнює t радiан.

348

Про точку Pt кажуть, що вона є образом точки P0 при поворотi навколо центра кола на кут t радiан.

Нехай на координатнiй площинi xOy задано одиничне коло, тобто коло з центром у початку координат i одиничним радiусом (Рис. 20), i нехай Pt є образ точки P0(1, 0) при поворотi

навколо центра на кут t радiан.

Означення 24.1. Синусом числа t називають ординату точки Pt i позначають sin t, а вiдповiднiсть, яка кожному дiйсному числу t вiдносить його синус, є тригонометричною функцiєю y = sin t.

Рис. 20

Означення 24.2. Косинусом числа t називають абсцису точки Pt i позначають cos t, а вiдповiднiсть, яка кожному дiйсному числу t вiдносить його косинус, є тригонометричною функцiєю x = cos t.

У шкiльному курсi математики поняття синуса i косинуса вводяться спочатку у прямокутному трикутнику для гострих кутiв (мiра кутiв градусна), далi з допомогою одиничного кола для кутiв вiд 0◦ до 180◦, i тiльки у 10 класi вводяться поняття синуса i косинуса числа. Пiсля цього констується [8, с. 29], що „оскiльки кожному дiйсному числу x можна поставити у вiдповiднiсть дiйснi числа sin x i cos x, то вважатимемо, що на

функцiї y = sin t i x = cos t перiодичнi з основним перiодом 2π. Координатнi осi подiляють площину на чотири частини, якi називають координатними четвертями, причому першою, якщо x > 0 i y > 0, другою, якщо x < 0 i y > 0, третьою, якщо x < 0 i y < 0, четвертою, якщо x > 0 i y < 0. Тодi точка Pt буде знаходитись у першiй чвертi (sin t > 0, cos t > 0), якщо t (2kπ; 2kπ+ π2 ),

349

Знову таки безпосередньо з означення випливає, що функцiя y = sin t зростає на iнтервалах (2kπ − π2 ; 2kπ + π2 ) i спадає на iнтервалах (2kπ + π2 ; 2kπ + 32π ), де k Z. Оскiльки при кожному t точки Pt i P−t симетричнi вiдносно осi абсцис, то абсциси цих точок збiгаються i cos t = cos(−t), а ординати протилежнi

(основна тригонометрична тотожнiсть).

Теорема 24.1. Функцiї x = cos t, y = sin t неперервнi у кожнiй точцi своєї областi визначення.

Доведення. Нехай t0 R. Тодi 4x = cos(t0 + 4t) − cos t0

є прирiст функцiї x = cos t, що вiдповiдає приросту аргумента

4t. Покажемо, що lim 4x = 0. Нехай Pt0 i Pt0+4t (Рис. 21) є

4t→0

образ точки P0(1, 0) при поворотi навколо центра кола на кути t0 i t0 + 4t радiан. Тодi у прямокутному трикутнику

QPt0 Pt0+4t катет QP0 = |4x|, а його гiпотенуза Pt0 Pt0+4t менша, нiж довжина дуги

_

Pt0 Pt0+4t, тобто |4x| = QPt0 < Pt0 Pt0+4t <

|4t|.

Рис. 21

Звiдси випливає, що коли 4t → 0, то i 4x → 0. Точно так саме доводиться неперервнiсть функцiї y = sin t.

350