Matanaliz

неперервна на замкненому прямокутнику

R= {(x, y) | |x − x0| 6 a, |y − y0| 6 b}

i задовольняє у ньому умови Лiпшиця по змiннiй y, тобто iснує L > 0 таке, що для будь-яких точок (x, y1), (x, y2) R виконується нерiвнiсть

|f(x, y1) − f(x, y2)| 6 L|y1 − y2|,

то iснує єдина функцiя y = ϕ(x), яка визначена i неперервно диференцiйовна принаймнi на вiдрiзку [x0 − h; x0 + h], де

h = min{a, b }, M = max |f(x, y)|,

M(x,y) R

i є розв’язком заданого рiвняння, який задовольняє початкову умову ϕ(x0) = y0.

Зазначимо, що доведення цiєї теореми здiйснюється методом послiдовних наближень (методом Пiкара), який по своїй сутi є конструктивним методом, бо вiн встановлює, що

ϕ(x) = lim Yn(x),

n→∞

x

Z

де Y0(x) = y0, Yn(x) = y0 + f(t, Yn−1(t))dt для n = 1, 2, . . ..

x0

Тепер вже можна уточнити поняття загального та частинного розв’язку. Нехай у кожнiй точцi областi D рiвняння (29.1) має єдиний розв’язок. Тодi функцiя y = ϕ(x, C), визначена для

називається загальним розв’язком цього рiвняння, якщо рiвняння y = ϕ(x, C) розв’язне вiдносно C для всiх (x, y) D (C = ψ(x, y)) i для кожного (x, y) D C = ψ(x, y) дає таке

451

значення C, при якому y = ϕ(x, C) є розв’язком заданого рiвняння. Розв’язок рiвняння (29.1), у кожнiй точцi якого виконується умова єдиностi, називається частинним. З приведеного тут означення загального розв’язку випливає, що всi розв’язки, отриманi iз загального при фiксованому значеннi довiльної сталої (включаючи ±∞), будуть частинними.

i, нарештi, функцiя y = ϕ(x) називається особливим роз- в’язком рiвняння (29.1) на iнтервалi (a; b), якщо для кожної точки (x0, y0), де x0 (a; b), y0 = ϕ(x0), iснує, але не є єдиним, розв’язок цього рiвняння, який задовольняє початкову умову y(x0) = y0. З геометричної точки зору кожен розв’язок рiвняння (29.1) є деякою кривою на координатнiй площинi. Такi кривi називають iнтегральними кривими. А задача Кошi геометричною мовою може бути сформульованою так: знайти iнтегральну криву в областi визначення функцiї f(x, y), яка проходить через точку (x0, y0).

Розглянемо основнi типи диференцiальних рiвнянь, розв’я- заних вiдносно похiдної, якi iнтегруються у квадратурах.

1. Диференцiальне рiвняння виду

де ϕ(x), ψ(y) — неперервнi функцiї, називається рiвнянням з вiдокремленими змiнними.

Якщо y(x) довiльний розв’язок цього рiвняння, то пiдставивши його у (29.3) дiстанемо тотожнiсть

Проiнтегрувавши цю тотожнiсть, прийдемо до рiвняння

де C — довiльна стала, розв’язком якого є кожен розв’язок рiвняння (29.3). Якщо, навпаки, y(x) є розв’язком рiвняння (29.5),

452

то, пiдставивши його у (29.5), одержимо тотожнiсть, продиференцiювавши яку, прийдемо до тотожностi (29.4). Отже, рiвняння (29.5) визначає всi розв’язки рiвняння (29.3), тобто є загальним iнтегралом (загальним розв’язком, заданим неявно) диференцiального рiвняння (29.3). Частинний розв’язок, який задовольняє початкову умову y(x0) = y0, задається неявно рiвнянням

yx

ZZ

P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0,

у якому функцiї P (x, y), Q(x, y) можна подати у виглядi добуткiв функцiй, кожна з яких залежить тiльки вiд однiєї змiнної, називається рiвнянням з вiдокремлюваними змiнними. Якщо обидвi частини рiвнянь (29.6) роздiлити на добуток ψ1(x)ϕ2(y), то прийдемо до рiвняння

ψ2(y) dy = ϕ1(x) dx ϕ2(y) ψ1(x)

з вiдокремленими змiнними.

Зауваження. Слiд пам’ятати, що якщо рiвняння ψ1(x) = 0 або ϕ2(y) = 0 мають розв’язки, то дiлення обох частин на ψ1(x)ϕ2(y) може привести до втрати частинних розв’язкiв, а якщо функцiї ψ1(x) i ϕ2(y) можуть бути розривнi, то можлива поява зайвих розв’язкiв, якi обертають у нуль множник

1

ψ1(x)ϕ2(y)

.

453

Приклад 1. Зiнтегрувати рiвняння

загальний iнтеграл цього рiвняння. Рiвняння x = 0 приводить до розв’язку x = 0 (y 6= 0) заданого рiвняння, причому оскiльки

lim ln |x| = −∞, то вiн отримується iз загального при C = −∞, а

x→0

отже, x = 0 частинний розв’язок. Рiвняння y = 0 теж приводить до розв’язку y = 0 (x 6= 0), однак його не можна одержати iз загального нi при якому значеннi довiльної сталої C, а отже, вiн

єособливим.

2.Диференцiальне рiвняння

називають однорiдним, якщо його права частина є однорiдною функцiєю нульового степеня, тобто якщо для всiх λ > 0 f(λx, λy) = f(x, y).

Покажемо, що однорiднi рiвняння зводяться до рiвнянь з вiдокремленими змiнними. Справдi, якщо взяти λ = x1 , то дi-

станемо рiвнiсть

f(x, y) = f 1, xy . i рiвняння (29.7) запишеться у виглядi

y0 = f 1, xy .

454

Вводимо замiну

z = xy або y = z · x.

Тодi y0 = z0x + z, i рiвняння (29.7) матиме вигляд

z0x + z = f(1, z)

Це вже рiвняння з вiдокремленими змiнними i

Z

dz

f(1, z) − z = ln |x| + C

його загальний iнтеграл.

Розглянемо рiвняння x = 0, f(1, z) − z = 0. Перше визначає розв’язок рiвняння

xdz = (f(1, z) − z)dx

i може виявитись розв’язком рiвняння

Тодi пiсля виключення початку координат вiн має бути приєднаним до розв’язкiв рiвняння (29.7). Якщо рiвняння f(1, z) −z = 0 має дiйснi розв’язки виду z = α, то їм вiдповiдають розв’язки y = αx (x 6= 0) однорiдного рiвняння. Цi пiвпрямi, як i пiвосi Oy, можуть виявитись особливими розв’язками.

Коли диференцiальне рiвняння подано у симетричнiй формi (29.2), то воно буде однорiдним, якщо функцiї P (x, y) i Q(x, y) є однорiдними одного степеня.

455

де P (x), Q(x) — заданi неперервнi функцiї, називається лiнiйним. При Q(x) ≡ 0 рiвняння

називають лiнiйним однорiдним рiвнянням, у противному випадку лiнiйним неоднорiдним. Якщо функцiї P (x) i Q(x) неперервнi на iнтервалi (a; b), то у смузi a < x < b, −∞ < y < +∞ через будь-яку точку M(x0, y0) проходить одна iнтегральна крива. Особливих розв’язкiв таке рiвняння не може мати.

Розглянемо однорiдне рiвняння (29.9). Воно має очевидний розв’язок y = 0. Нехай y 6= 0. Тодi рiвняння можна записати у

де C — довiльна стала i C 6= 0. Очевидно, що розв’язок y = 0 увiйде у розв’язок (29.10), якщо зняти обмеження C 6= 0. Отже, рiвнiсть (29.10) дає загальний розв’язок рiвняння (29.9).

Перейдемо тепер до неоднорiдного рiвняння (29.8), де Q(x) 6≡0. є декiлька методiв iнтегрування цього рiвняння. Тут ми скористаємось методом варiацiї довiльної сталої (Лагранжа). Якщо у неоднорiдному рiвняння (29.8) замiнити праву частину нулем, то одержимо вiдповiдне йому однорiдне рiвняння, загальний розв’язок якого має вигляд (29.10). За аналогiєю з (29.10) будемо шукати розв’язок неоднорiдного рiвняння у виглядi

R

y = C(x)e− P (x)dx, (29.11)

457

де C(x) — невiдома функцiя. Пiдставимо (29.11) у рiвняння (29.8). Маємо:

R R R

C0(x)e− P (x)dx+C(x)e− P (x)dx(−P (x))+P (x)C(x)e− P (x)dx = Q(x)

або

R

C0(x)e− P (x)dx = Q(x)

звiдки

R

C0(x) = Q(x)e P (x)dx.

Проiнтегрувавши останнє рiвняння, маємо

Z

R

C(x) = Q(x)e P (x)dxdx + C,

де C — довiльна стала. Отже, загальний розв’язок лiнiйного необнорiдного рiвняння (29.8) записується у виглядi

Z

R R

y = e− P (x)dx C + Q(x)e P (x)dxdx .

Зауваження. Загальний розв’язок лiнiйного неоднорiдного рiвняння дорiвнює сумi загального розв’язку вiдповiдного однорiдного рiвняння i будь-якого частинного розв’язку неоднорiдного рiвняння.

Приклад 3. Зiнтегрувати рiвняння

Розв’язання. Складемо вiдповiдне однорiдне рiвняння

458

Якщо y 6= 0 (очевидно, що y = 0 не є розв’язок заданого рiвняння), то останнє рiвняння запишеться у виглядi

dyy = −xxdx2 + 1.

Звiдси

y = Ce12 ln(x2+1)

або

y = √ C . x2 + 1

Скориставшись методом варiацiї довiльної сталої, будемо шукати розв’язок неоднорiдного рiвняння у виглядi

називається рiвнянням у повних диференцiалах, якщо iснує функцiя u(x, y) така, що

du = P dx + Qdy.

459

Насамперед, очевидно, що рiвняння у повних диференцiалах можна подати у виглядi

du(x, y) = 0,

i тому u(x, y) = C є його загальним iнтегралом, тобто задача iнтегрування таких рiвнянь — це фактично задача про вiдновлення функцiї u(x, y) за її повним диференцiалом. Цей факт дозволить не тiльки сформулювати ознаку, за якою можна розпiзнати рiвняння в повних диференцiалах, але й дасть практичний спосiб розв’язування таких рiвнянь.

Теорема 29.2. Якщо функцiї P (x, y) i Q(x, y) неперервнi разом з своїми частинними похiдними ∂P∂y i ∂Q∂x , то рiвняння

(29.12) є рiвнянням у повних диференцiалах тодi i тiльки тодi, коли в областi D виконується тотожнiсть

Доведення. Необхiднiсть. Нехай рiвняння (29.12) є рiвнянням у повних диференцiалах, тобто його лiва частина є повним диференцiалом для деякої функцiї u(x, y) в областi D. Тодi

460