Matanaliz

Тепер уже легко перевiрити, що функцiя ez аналiтична у кожнiй точцi комплексної площини, i що її похiдна (ez)0 = ez.

i sin y одночасно не обертаються в нуль, то нi при якому z e

не може дорiвнювати 0. Якщо ж A будь-яке комплексне число вiдмiнне вiд нуля, то, подавши його у тригонометричнiй формi

Оскiльки функцiї cos y i sin y перiодичнi з перiодом 2π, то для будь-якого z C

ez+2πi = ez(cos 2π + i sin 2π),

тобто ez перiодична з перiодом 2πi.

Показникова функцiя ez дає можливiсть крiм алгебраїчної та тригонометричної форм подання комплексного числа використовувати показникову форму. А саме, якщо у формулi (21.4) покласти x = 0 i y = α, то

eiα = cos α + i sin α.

Тодi будь-яке комплексне число z 6= 0 можна подати у виглядi

z = |z|(cos arg z + i sin arg z) = |z|ei arg z.

311

Якраз останнє i є показниковою формою подання комплексного числа.

Повернемось до показникової функцiї дiйсної змiнної. Однiєю iз популярних задач (особливо шкiльної математики) є розв’язування показникових рiвнянь та нерiвностей. Показниковим називають рiвняння, у яких невiдоме входить лише до показникiв степенiв при сталих основах. Найпростiшим показниковим рiвнянням є ax = b, де a > 0, a 6= 1 i b > 0. Воно має єдиний розв’язок x = loga b. Показникове рiвняння

af(x) = bg(x),

де a > 0, a 6= 1 i b > 0, b 6= 1, розв’язується методом зведення до однiєї основи. Якщо c > 0 i c 6= 1, то останнє рiвняння рiвносильне рiвнянню

cf(x) logc a = cg(x) logc b,

яке у свою чергу рiвносильне рiвнянню

f(x) logc a = g(x) logc b,

зокрема рiвняння

af(x) = ag(x)

рiвносильне рiвнянню

f(x) = g(x).

Другим найпоширенiшим методом розв’язування показникових рiвнянь є метод замiни змiнної, який приводить розв’язування рiвняння

F (af(x)) = 0,

до розв’язування рiвняння F (t) = 0, i пiсля до розв’язування рiвнянь виду af(x) = t0, де t0 — додатний розв’язок рiвняння

F (t) = 0.

312

Так, наприклад, показникове рiвняння виду

c1anx + c2akxb(n−k)x + c3bnx = 0,

де a > 0, a 6= 1, b > 0, b 6= 1 k, n N i k < n, (його називають однорiдним) розв’язується так: подiливши на bnx i поклавши

a x

b

= t, дiстанемо рiвняння c1tn + c2tk + c3 = 0.

Приклад 1. Розв’язати рiвняння

3 · 23x+2 − 47 · 12x + 53 · 18x − 2 · 33x+2 = 0.

Розв’язання. Запишемо рiвняння у виглядi

12 · 23x − 47 · 22x · 3x + 53 · 2x32x − 18 · 33x = 0

i подiлимо обидвi частини на 33x. Маємо

2 x

Замiна = t приводить до кубiчного рiвняння

3

12t3 − 47t2 + 53t − 18 = 0.

Очевидним коренем цього рiвняння є t1 = 1, а коренями квадратного рiвняння 12t2 − 35t + 18 = 0 є t2 = 94, t3 = 23. Отже, коренi заданого показникового рiвняння будуть x1 = 0, x2 = −2, x3 = 1.

Приклад 2. Розв’язати систему рiвнянь

(

4x − 7 · 2x−0,5y = 23−y, y − x = 3.

313

Розв’язання. Оскiльки y = 3+x, то перше рiвняння системи

запишеться так:

4x − 7 · 20,5x−1,5 = 2−x

або

23x − 7 · 21,5x2−1,5 = 1.

Замiна 21,5x = t приводить до квадратного рiвняння

√√

2 2t2 − 7t − 2 2 = 0,

розв’язок системи.

Показниковими нерiвностями називають нерiвностi, у яких невiдоме входить лише до показникiв степенiв при сталих основах. Розв’язування таких нерiвностей зводиться до розв’язування найпростiших нерiвностей виду

af(x) < ag(x), af(x) 6 ag(x),

якi, враховуючи монотоннiсть показникової функцiї, зводяться до розв’язування нерiвностей f(x) < g(x), f(x) 6 g(x), якщо a > 1, i нерiвностей f(x) > g(x), f(x) > g(x), якщо 0 < a < 1.

((2x − 2 · 3x)(2x − 3 · 3x) < 0)

314

315

22 ЛЕКЦIЯ: Логарифмiчна функцiя дiйсної та

комплексної змiнної

Означення логарифмiчної функцiї дiйсної змiнної як оберненої до показникової, її властивостi. iншi пiдходи до поняття логарифмiчної функцiї. Логарифмiчна функцiя комплексної змiнної, її властивостi. Логарифмiчнi рiвняння i нерiвностi.

Лiтература. [1], ч. 1, с. 89–90; [2], ч. 1, с. 133–135; [3], т. 1, с. 104–105; [4], с. 85–92; [8], с. 204–242; [9], ч. 2, с. 359–361.

Як правило, у рамках достатно розвинутої теорiї неперервних функцiй логарифмiчну функцiю означають як функцiю обернену до показникової. Справдi, на будь-якому вiдрiзку [α; β] функцiя y = ax (a > 0, a 6= 1) визначена, строго монотонна i неперервна. А отже, iснує обернена до неї функцiя, яка визначена строго монотонна i неперервна на вiдрiзку [aα; aβ], якщо a > 1, або на вiдрiзку [aβ; aα], якщо 0 < a < 1. Враховуючи те, що для будь-якого додатного числа c iснують дiйснi числа x1 i x2 такi, що ax1 < c < ax2 , то логарифмiчна функцiя визначена, строго монотонна i неперервна на множинi додатних дiйсних чисел.

Для логарифмiчної функцiї використовують позначення y = loga x (читається „логарифм x за основою a“). Однак у випадку a = e замiсть loge x пишуть ln x, а у випадку a = 10 замiсть log10 x пишуть lg x.

Властивостi логарифмiчної функцiї формулюються на пiдставi вiдповiдних властивостей показникової функцiї.

316

2. Оскiльки при 0 < a < 1 функцiя y = ax спадає i

то логарифмiчна функцiя y = loga x теж спадає i

3.Оскiльки значення показникової функцiї y = ax у точцi x = 1 дорiвнює a, то значення функцiї y = loga x у точцi x = a

дорiвнює 1. (Значення логарифмiчної функцiї y = loga x у точцi x = 1 дорiвнює нулевi.)

4. Оскiльки для показникової функцiї y = ax має мiсце рiвнiсть ax1 ax2 = ax1+x2 для будь-яких дiйсних чисел x1 i x2, то для логарифмiчної функцiї y = loga x має мiсце рiвнiсть

loga x1 + loga x2 = loga(x1x2)

для будь-яких додатних чисел x1 i x2.

Справдi loga x1 це той показник степеня α1, для якого aα1 = x1, а loga x2 це той показник степеня α2, для якого aα1 = x2. Тодi α1 + α2 це той показник степеня, для якого aα1+α2 = x1x2,

тобто α1 + α2 є loga(x1x2).

iсторично поняття логарифмiчної функцiї сформувалось на основi таблиць логарифмiв, якi одночасно розроблялись на початку 17 столiття швейцарцем Йостом Бюргi, шотландцем Джоном Непером i англiйцем Генрi Брiгсом, однак першою (1614) була публiкацiя Непера. Вiн же обрав термiн „логарифм“, що озна-

317

Вiдправним поняттям є логарифм i при введенi логарифмiчної функцiї у шкiльному курсi математики.

Означення 22.1. Логарифмом числа N за основою a (a > 0 i a 6= 1) називається показник степеня α, до якого треба пiднести a, щоб дiстати число N.

Позначається цей показник степеня символом loga N. Таким чином, loga N є коренем рiвняння ax = N, тобто

aloga N = N

(основна логарифмiчна тотожнiсть).

Оскiльки степiнь aα (a > 0, a 6= 1) при будь-якому α R є додатне число i для будь-яких α i β

то логарифми за основою a мають тiльки додатнi числа i вони задовольняють такi властивостi:

а) логарифм добутку двох додатних чисел дорiвнює сумi їх логарифмiв;

б) логарифм частки двох додатних чисел (дробу) дорiвнює рiзницi логарифмiв дiленого i дiльника (чисельника i знаменника);

в) логарифм степеня дорiвнює показнику степеня, помноженому на логарифм основи цього степеня.

318

Означення 22.2. Вiдповiднiсть, яка кожному додатному числу x вiдносить логарифм цього числа за основою a, називається логарифмiчною функцiєю за основою a i позначається y = loga x.

Мовою алгебри логарифмiчна функцiя y = loga x задає iзоморфне вiдображення групи (R+, ·) на групу (R+, +). Звичайно означення 22.2 тiсно пов’язане з поняттям степеня i тому властивостi логарифмiчної функцiї формулюються i обгрунтовуються на пiдставi властивостей показникової функцiї. Серед них особливе мiсце за такими:

loga(x1x2) = loga x1 + loga x2;

г) loga a = 1.

Перелiченi властивостi є характеристичними для логарифмiчної функцiї. А саме, має мiсце така теорема.

Теорема 22.1. Якщо a > 0 i a 6= 1, то iснує єдина функцiя f, яка задовольняє властивостi (22.1).

Доведення. iснування випливає з того, що функцiя y = loga x задовольняє властивостi (22.1). Залишається довести єдинiсть. Припустимо, що iснує функцiя f, яка задовольняє властивостi (22.1) i не збiгається з loga x. Методом математичної iндукцiї легко обгрунтувати, що для будь-яких додатних чисел

n n

319

тобто f(an) = loga an i значення функцiї f збiгається iз значеннями функцiї loga x на множинi {an | n N}. Нехай r = mn —

довiльне додатне число. Тодi rn = m i

m = f(am) = f(arn) = f(ar · ar · · · ar) = nf(ar),

| {z }

n разiв

тобто f(ar) = mn = r i значення функцiї f збiгається iз значен-

нями функцiї loga x на множинi {ar | r — додатне рацiональне число}. Нехай α — довiльне додатне iррацiональне число. Тодi iснує послiдовнiсть (rn) додатних рацiональних чисел така, що

lim rn = α, а, отже, в силу неперервностi функцiї ax

n→∞

lim rn = aα.

n→∞

Скориставшись неперервнiстю функцiї f у точцi aα, маємо

f(aα) = lim f(arn ) = lim rnf(a) = α,

n→∞ n→∞

тобто f(aα) = α i значення функцiї f збiгається iз значеннями

Нехай α > 0. Тодi 0 = f(1) = f(aαa−α) = f(aα) + f(a−α) =

α+f(a−α), тобто f(a−α) = −α. Таким чином, значення функцiї f збiгаються iз значеннями функцiї loga x на множинi {aα | α R}. Якщо тепер x R+, то

f(x) = f aloga x = loga x,

що суперечить припущенню. Отже, loga x єдина функцiя, яка задовольняє умови (22.1).

320