Matanaliz

де q(x) — цiла частина дробу P (x)

Q(x)

Cij (i = 1, r, j = 1, mi) числа, якi визначаються методом невизначенних коефiцiєнтiв. А, отже, iнтегрування рацiонального дробу зводиться до iнтегрування многочлена та iнтегрування елементарних дробiв виду

де k N, A, B, C R, p2 − 4q < 0.

Тепер уже можна описати iнструментарiй, з допомогою якого для заданої функцiї знаходять її первiсну, а, отже, невизначений iнтеграл.

Насамперед, скориставшись таблицею похiдних елементарних функцiй можна скласти таблицю основних невизначених iнтегралiв. Так, оскiльки

xα+1 0

= xα, x > 0, α 6= −1,

α + 1

то на будь-якому промiжку додатної пiвосi має мiсце формула:

У тому випадку, коли α — рацiональне число, область визначення функцiї xα може поширитись i на вiд’ємну пiввiсь i навiть на всю числову пряму. Так, наприклад, формула

201

на будь-якому промiжку, якому не належить точка x = 0.

Далi таблиця похiдних дає можливiсть записати такi формули, що справедливi на будь-якому промiжку числової прямої.

де a > 0 i a 6= 1, зокрема

Z

exdx = ex + C.

Z

4. cos xdx = sin x + C.

Z

5. sin xdx = − cos x + C.

202

Z

6. ch xdx = sh x + C.

Z

7. sh xdx = ch x + C.

Наступнi формули справедливi на тих промiжках, якi включаю-

навiть деяких основних елементарних функцiй (loga x, arcsin x, arctg x тощо). Знайти такi iнтеграли можна за допомогою основних правил iнтегрування (15.2) – (15.4). Так, наприклад, при

203

А от правило пiдстановки дає можливiсть знайти невизначений iнтеграл дробу

204

Якщо покласти u = t2 + a2, то

де a = 12p4q − p2.

При iнтегруваннi дробiв виду

Ax + B (x2 + px + q)n ,

де n > 1, p2 − 4q < 0, дiють точно так саме, як i у попередньому випадку, а iнтеграл

обчислюють з допомогою рекурентної формули

205

При iнтегруваннi нерацiональних елементарних функцiй найбiльш продуктивним є метод рацiоналiзацiї, тобто перехiд з допомогою певної пiдстановки до iнтегрування рацiональ-

ної функцiї. Звичайно такi функцiї мають певну структуру

√

(R(cos x, sin x), R(x, ax2 + bx + c) тощо).

Зауваження. Коли операцiя диференцiювання елементарних функцiй не виводить за межi класу елементарних функцiй, то для операцiї iнтегрування все значно складнiше. Причина у тому, що для операцiї диференцiювання ми мали правила диференцiювання суми, добутку, частки, композицiї функцiй, а якраз останнi операцiї, виконанi скiнченне число раз над основними елементарними функцiями (кожна з яких має похiдну) дають елементарну функцiю. Для операцiї iнтегрування немає правил iнтегрування добутку, частки, композицiї, так що вповнi можливо, що для певних елементарних функцiй первiсними є елементарнi функцiї, але знайти їх ще нiкому не вдалося. Разом з тим встановлено, що хоча кожна неперервна на промiжку елементарна функцiя має первiсну, однак є елементарнi функцiї, первiснi яких не можна подати у скiнченному виглядi через елементарнi функцiї, тобто операцiя iнтегрування виводить за межi класу елементарних функцiй. Так, наприклад, показано, що iнтеграли

де n N, не подаються у скiнченному виглядi через елементарнi функцiї.

На закiнчення зазначимо, що у шкiльному пiдручнику [8, с. 343–350] вводиться тiльки поняття первiсної (термiн „iнтеграл“ синонiм термiна „визначений iнтеграл“), а саме: „Первiсною для даної функцiї y = f(x) на заданому промiжку ha, bi

206

називається така функцiя F , похiдна якої для всiх x з iнтервалу (a, b) дорiвнює f(x), тобто F 0(x) = f(x) для всiх x (a, b).“ Замiсть термiну „невизначений iнтеграл“ автори користуються термiном „загальний вигляд первiсної“ i позначенням F (x) + C. Вiдмовившись вiд використання термiну „множина всiх первiсних“, автори змушенi були основну властивiсть пер-

вiсної сформулювати у виглядi двох теорем:

Теорема 1. Якщо на промiжку ha, bi функцiя F (x) є первiсною для f(x), то на цьому промiжку первiсною для f(x) буде також функцiя F (x) + C, де C — довiльна стала (число).

Теорема 2. Будь-якi двi первiснi функцiї для однiєї i тiєї самої функцiї вiдрiзняються одна вiд одної на сталий доданок.

До iнструментарiю знаходження первiсних включено таку таблицю.

207

7.Побудувати таку функцiю R(x, f(x)), де R(x, y) — рацiональна функцiя змiнних x i y, для якої можна обчислити

Z

R(x, f(x))dx.

8.Знайти функцiю y = f(x), для якої f(1) = 0 i похiдна подається у виглядi

209

16 ЛЕКЦIЯ: Iнтеграл Рiмана

Поняття iнтеграла Рiмана для функцiї n (n = 1, 2, 3) дiйсних змiнних. Необхiднi i достатнi умови iнтегровностi функцiї. Обчислення iнтегралiв.

Лiтература. [1], ч. 2, с. 118–160; [2], ч. 1, с. 335–375, ч. 2, с. 113–152; [3], т. 1, с. 379–412, т. 2, с. 81–98; [9], ч. 2, с. 207–234; Dennis D.Berkey Calculus. – New York, Saundes college publishing, 1984, p. 267–368.

iсторично поняття iнтеграла (визначеного iнтеграла, iнтеграла Рiмана) зароджувалось i формувалось в органiчнiй єдностi iз методами вiдшукання площ фiгур i об’ємiв тiл.

Першим був метод вичерпування, за допомогою якого грецький математик Евдокс (його вважають винахiдником цього методу) дав логiчне обгрунтування (доведення) того, що площi двох кругiв вiдносяться як квадрати їх дiаметрiв, що об’єм конуса дорiвнює однiй третинi об’єму цилiндра з тими ж основою i висотою, А трохи бiльше, нiж через сто рокiв найвидатнiший математик античностi Архiмед значно удосконалив метод Евдокса i отримав низку нових результатiв, серед яких межi для числа π 31071 i 31070 , i, чим вiн найбiльше пишався, зв’язок мiж площею i об’ємом кулi i цилiндра, описаного навколо неї. Мiркування Архiмеда були настiльки витонченi i за своєю сутнiстю близькi до методу iнтегровних сум, що дехто (наприклад, Д. Пойа) схильнi говорити про вiдкриття ним iнтегрального числення.

Задачi Архiмеда переглядались знову i знову з метою виявлення їх можливостей у розв’язаннi нових задач. i тiльки через двi тисячi рокiв набувають громадянства власне iнтегральнi методи оперування з актуальними нескiнченно малими (метод неподiльних Кавал’єрi) i операцiя iнтегрування, пiд якою Ньютон i Лейбнiц розумiли сумування диференцiалiв.

Сучасне означення iнтеграла було сформульовано Кошi

210