Matanaliz

Коли функцiя f визначена на деякому промiжку i у кожнiй точцi цього промiжка похiдна iснує, причому, якщо лiвий кiнець промiжка (точка a) належить йому, то

(права похiдна у точцi a), а якщо правий кiнець (точка b) належить йому, то

(лiва похiдна у точцi b), тодi вiдповiднiсть, яка кожнiй точцi промiжка вiдносить похiдну функцiї у цiй точцi, називається похiдною функцiєю (просто похiдною) функцiї f i позначається f0(x). Операцiю обчислення похiдної заданої функцiї називають

операцiєю диференцiювання.

Нехай числова функцiя f(x1, x2, . . . , xn) визначена на вiдкритiй пiдмножинi X евклiдового простору Rn, нехай x0 = (x(0)1 , x(0)2 , . . . , x(0)n ) точка множини X i a = (a1, a2, . . . , an) фiксована (a 6= 0) точка простору Rn. Будемо користуватись геометричною термiнологiєю i називати a напрямком, а множину {x | =x0 + ta, t R} — прямою лiнiєю, що проходить через точку x0 у напрямку a.

то її називають похiдною функцiї f у точцi x0 за напрямком a i позначають fa0 (x0).

Звичайно, якщо fa0 (x) визначена у кожнiй точцi x X, то кажуть, що похiдна за напрямком визначена на множинi X.

У випадку, коли a є орт ek = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0), де 1 6 k 6 n, то похiдна у таких напрямках має спецiальну назву.

131

Означення 11.3. Частинною похiдною за k-ю змiнною (або за змiнною xk) називається похiдна fe0k (x) i позначається

символом ∂f(x).

∂xk

Таким чином,

Якщо, наприклад, маємо функцiю двох змiнних z = f(x, y), то очевидно, що знаходження частинних похiдних цiєї функцiї зводиться до знаходження похiдних функцiї однiєї змiнної. Справдi, якщо (x0, y0) внутрiшня точка областi визначення функцiї f(x, y), то, поклавши y = y0, отримуємо функцiю f(x, y0) визначену у деякому околi точки x0. Тодi, очевидно, що частинна похiдна цiєї функцiї за змiнною x у точцi (x0, y0) буде дорiвнювати

називається похiдною функцiї f у точцi x0 (його ще називають градiєнтом функцiї f у точцi x0) i позначають одним iз

132

символiв f0(x0), grad f(x0), rf(x0). Похiдна функцiї f у точцi x0 за напрямком a обчислюється за формулою

fa0 (x0) = (f0(x0), a) = |f0(x0)| cos (f0(x0), a0),

де a0 = |a1|a. Звiдси безпосередньо випливає, що fa0 (x0) досягає

свого найбiльшого значення у напрямку f0(x0). Тобто f0(x0) є напрямок, у якому швидкiсть змiни функцiї f найбiльша.

133

Другий пiдхiд для локального описання характеру змiни функцiї є порiвняння її з лiнiйним еталоном, iнакше диференцiалом функцiї у точцi.

Нехай функцiя f визначена у деякому околi точки x0. Для кожного x (x 6= x0) з цього околу позначимо рiзницю x − x0 через 4x, а рiзницю f(x) −f(x0) = f(x0 + 4x) −f(x0) через 4y.

Означення 11.4. Функцiя f називається диференцiйовною у точцi x0, якщо прирiст функцiї 4y, який вiдповiдає приросту аргумента 4x, можна подати у виглядi

4y = A4x + o(4x),

де o(4x) — нескiнченно мала порядку вищого нiж 4x, тобто

o(4x)

4x = 0. Головну частину A4x приросту 4y, лiнiйну

вiдносно 4x, називають диференцiалом функцiї f у точцi x0 i позначають

d f(x0) := A4x.

Точнiше, диференцiалом функцiї f у точцi x0 називають лiнiйну по 4x функцiю A(x0)4x.

Теорема 11.1. Для того щоб функцiя f була диференцiйовною у точцi x0 необхiдно i досить, щоб вона у цiй точцi мала похiдну.

Доведення. Необхiднiсть. Нехай f диференцiйовна у точцi x0, тобто

134

тобто похiдна iснує i дорiвнює A. Таким чином, основне спiввiдношення в означеннi диференцiйовної функцiї можна розписа-

ти так

4y = f0(x0)4x + o(4y).

Звiдси

i врахувати, що для функцiї y = x d x = 4x, то маємо ще одне позначення диференцiала d y = f0(x)d x або d y = y0d x i в

зв’язку з цим позначення похiдної y0 = dd xy .

Означення диференцiйовностi функцiї однiєї змiнної в очевидний спосiб переноситься на функцiї багатьох змiнних. Нехай функцiя f(x) = f(x1, x2, . . . , xn) визначена на множинi E Rn i точка x0 = (x(0)1 , x(0)2 , . . . , x(0)n ) є внутрiшньою то-

чкою множини E. Позначимо 4x = (4x1, 4x2, . . . , 4xn), а

x0 + 4x = (x(0)1 + 4x1, x(0)2 + 4x2, . . . , x(0)n + 4xn).

Означення 11.5. Функцiя f називається диференцiйовною у точцi x0, якщо

f(x0 + 4x) − f(x0) = A14x1 + A24x2 + . . . + An4xn + α(x0, 4x),

135

а вираз

A14x1 + A24x2 + . . . + An4xn

(лiнiйну функцiю n змiнних) називають диференцiалом (повним диференцiалом) функцiї f у точцi x0.

Можна переконатись, що якщо функцiя f диференцiйовна у точцi x0, то вона має похiдну

Наявнiсть похiдної не є достатною умовою для диференцiйовностi функцiї. Гарантом диференцiйовностi є неперервнiсть всiх частинних похiдних у точцi x0.

Проведемо бiльш докладнi викладки для функцiї двох змiнних. Нехай функцiя z = f(x, y) визначена у деякому околi точки M0(x0, y0). Для точки M(x, y) з цього околу будемо позначати

Тодi згiдно означення 11.5 функцiя f називається диференцiйовною у точцi (x0, y0), якщо iснують два числа A i B такi, що

4z = A4x + B4y + α(x0, y0, 4x, 4y),

де α(x0, y0, 4x, 4y) = ε(x0, y0, 4x, 4y)d,

lim ε(x0, y0, 4x, 4y) = 0,

d→0

а лiнiйна функцiя A4x + B4y називається диференцiалом цiєї функцiї у точцi (x0, y0) i позначається d z. Тодi

d z = A4x + B4y або d z = Ad x + Bd y.

136

В силу структури α(x0, y0, 4x, 4y) маємо:

lim 1 α(x0, y0, 4x, 4y) = 0,

d→0 d

то за аналогiєю з функцiями однiєї змiнної записують

4z = Ad x + Bd y + o(d).

Зауважимо також, що o(d) = α(x0, y0, 4x, 4y) можна подати у виглядi

ε1(x0, y0, 4x, 4y)4x + ε2(x0, y0, 4x, 4y)4y.

Теорема 11.2. Якщо функцiя z = f(x, y) диференцiйовна у точцi (x0, y0) i d z = Ad x+ Bd y її диференцiал, то у цiй точцi

137

тобто частинна похiдна за змiнною x у точцi (x0, y0) iснує i

∂f(x0, y0) = A. Аналогiчно показується, що частинна похiдна

∂x

за змiнною y у точцi (x0, y0) iснує i ∂f(x0, y0) = B. ∂y

Теорему можна перефразувати у такий спосiб: якщо функцiя z = f(x, y) диференцiйовна у точцi (x0, y0) i d z = A 4x+B 4y її диференцiал, то у цiй точцi функцiя f має похiдну i f0(x0, y0) = (A, B).

Обернене твердження, взагалi кажучи, невiрне. Наприклад, функцiя

0 , якщо x = y = 0

уточцi (0, 0) має обидвi частиннi похiднi

∂f(0, 0) = ∂f(0, 0) = 0, ∂x ∂y

проте вона не диференцiйовна, бо вона не є неперервною у цiй точцi.

Теорема 11.3. Якщо функцiя z = f(x, y) у деякому околi точки (x0, y0) має частиннi похiднi ∂f∂x, ∂f∂y , якi неперервнi у точцi (x0, y0), то функцiя f диференцiйовна у цiй точцi.

Доведення. Нехай {(x, y) | d((x0, y0), (x, y)) < δ} окiл точки, у якому визначено функцiю f разом з своїми частиними похiдними. Оберемо 4x i 4y так, щоб точка (x0 + 4x, y0 + 4y) належала обраному околу. Вiдповiдний прирiст функцiї 4z подамо у виглядi

4z = f(x0 + 4x, y0 + 4y) − f(x0, y0) = f(x0 + 4x, y0 + 4y)−

−f(x0, y0 + 4y) + f(x0, y0 + 4y) − f(x0, y0).

138

До функцiї f(x0, y0 +4y) як функцiї однiєї змiнної x застосуємо теорему Лагранжа. Маємо:

f(x0 +4x, y0 +4y)−f(x0, y0 +4y) = ∂f(x0 + θ14x, y0 + 4y)4x, ∂x

де 0 < θ1 < 1. Аналогiчно до функцiї f(x0, y) як функцiї однiєї змiнної y теж застосуємо теорему Лагранжа. Маємо:

Ацей означає, що функцiя f диференцiйовна у точцi (x0, y0).

Всилу того, що над функцiями однiєї змiнної можна виконувати чотири арифметичних i двi теоретико-множинних операцiї, правила обчислення похiдних, пов’язанi з цими операцiями i складають правила диференцiювання.

139

Теорема 11.4. Якщо функцiї f1 i f2 мають у точцi x0 похiднi, то функцiї f1 + f2, f1 − f2, f1f2 теж мають у цiй точцi похiднi, причому

(f1 + f2)0(x0) = f10(x0) + f20(x0), (f1 − f2)0(x0) = f10(x0) − f20(x0),

(f1f2)0(x0) = f10(x0)f2(x0) + f1(x0)f20(x0),

а якщо f2(x0) 6= 0, то i функцiя f1 , причому f2

Теорема 11.5. Якщо функцiя f має похiдну у точцi x0, а функцiя g має похiдну у точцi f(x0), то у деякому околi точки x0 визначено композицiю функцiй f i g (складну функцiю g(f(x))) i ця функцiя має похiдну у точцi x0, причому

(g ◦ f)0(x0) = g0(f(x0))f0(x0).

Теорема 11.6. Якщо функцiя y = f(x) визначена, неперервна i строго монотонна у деякому околi точки x0, має у цiй точцi похiдну, причому f0(x0) 6= o, то обернена функцiя x = f−1(y) має похiдну у точцi y0 = f(x0), причому

Оскiльки iснування похiдної є необхiдна i достатна умова диференцiйовностi, то вiрними будуть i такi твердження. Якщо

140