Matanaliz

Якщо припустити, що функцiя f(x), яка задовольняє умови (22.1), диференцiйовна, то можна знайти її похiдну. Справдi, якщо f0(x) iснує, то

321

i покажемо, що вона задовольняє умови (22.1). Очевидно, що f(x) визначена, неперервна i зростаюча (f0(x) = x1 > 0) на

промiжку (0, +∞). А оскiльки f(1) = 0, то f(x) < 0, якщо 0 < x < 1, i f(x) > 0, якщо x > 1. Якщо x1, x2 (0, +∞), то

(в другому iнтегралi виконано пiдстановку t = x1u). Тепер уже не важко переконатись, що f(2n) = nf(2), а f(2−n) = −nf(2). Отже,

i множиною значень функцiї f(x) є множина R. Але тодi iснує таке число e, для якого f(e) = 1.

Таким чином, показано, що функцiя (22.2) задовольняє умови (22.1), а, отже, це логарифмiчна функцiя з основою e, тобто означення 22.2 дає функцiю y = ln x. Означення 22.2 дає можливiсть, скориставшись формулами чисельного iнтегрування, обчислювати логарифми чисел. Однак бiльш ефективним iнструментом є ряди. Якщо почлено проiнтегрувати ряд

∞

X

(−1)nxn,

n=0

1

який збiгається на iнтервалi (−1; 1) i має сумою функцiю 1 + x

(сума членiв нескiнченної геометричної прогресiї iз знаменником −x (|x| < 1)), то отримаємо ряд

322

який збiгається на промiжку (−1; 1] i має сумою функцiю ln(1 + x). Отож маємо, що

для всiх x з промiжку (−1; 1], i, користуючись цим рядом, можна обрахувати значення логарифмiв чисел з промiжку (0; 2]. Так,

наприклад,

ln 2 = 1 − 12 + 13 − 14 + · · · ,

i щоб знайти наближене значення ln 2 з точнiстю до чотирьох знакiв, слiд взяти 104 членiв ряду. (Маємо достатно пристойну

збiжнiсть, коли |x| < 12).

Разом з тим можна побудувати ряд, який збiгається значно швидше. Бiльш того, вiн дозволить обчислювати логарифми чисел, якi бiльшi 2. Якщо у (22.3) покласти −x, то для всiх x з промiжку [−1; 0)

∞ x2n−1

X

Тодi ln(1 + x) − ln(1 − x) = 2 2n − 1, причому ряд справа

n=1

збiгається на iнтервалi (−1; 1), тобто для всiх x (−1; 1)

n=1

i тепер, щоб знайти наближене значення ln 2 з точнiстю до 10−4,

n=1

323

з точнiстю до 5 · 10−8. Так, наприклад,

lg 101 = 2 + 2201M ≈ 2, 0043,

lg 102 = 2, 00432 + 2203M ≈ 2, 0086.

Логарифмiчна функцiя комплексної змiнної вводиться як обернена до показникової функцiї. Точнiше, як вiдповiднiсть, яка кожному комплексному числу z 6= 0 вiдносить множину розв’язкiв рiвняння ew = z. Останню можна знайти, якщо ew i z подати у тригонометричнiй формi i розв’язати рiвняння

eu(cos ν + i sin ν) = |z|(cos α + i sin α),

де α = arg z. Тодi

{ln |z| + i(arg z + 2kπ) | k Z}

шукана множина розв’язкiв.

Означення 22.3. Вiдповiднiсть, яка кожному комплексному числу z 6= 0 вiдносить множину комплексних чисел

називається логарифмiчною функцiєю комплексної змiнної i позначається w = Ln z.

325

З другого боку, Ln z1 +Ln z2 є позначення множини комплексних чисел, елементами якої є всi можливi суми елементiв множин

{ln |z1| + i(arg z1 + 2kπ) | k Z} i

{ln |z2| + i(arg z2 + 2kπ) | k Z},

взятих по одному з кожної множини. Очевидно, що кожен елемент множини Ln(z1z2) є елементом множини Ln z1 + Ln z2 i навпаки. Рiвнiсть (22.7) доводиться аналогiчно.

Зауваження. Множини Ln zα i α Ln z, взагалi кажучи, не є рiвними. Так, наприклад,

Ln z2 = Ln z + Ln z = {ln |z| + i(arg z + 2kπ) | k Z} +

+{ln |z| + i(arg z2nπ) | n Z} =

={2 ln |z| + i(2 arg z + 2kπ) | k Z},

а2 Ln z = {2 ln |z| + i(2 arg z + 4kπ) | k Z}, тобто Ln z2 6= 2 Ln z. При дослiдженнi багатозначних функцiй видiляють так званi

однозначнi неперервнi гiлки. Для логарифмiчної функцiї такими гiлками будуть функцiї виду

w = Lnk z = ln |z| + i(arg z + 2kπ)

326

для кожного k Z, визначенi на всiй комплекснiй площинi з розрiзом вздовж вiд’ємної частини дiйсної осi. Множиною значень функцiї w = Lnk z є множина

{w | (2k − 1)π < | Im w| < (2k + 1)π}.

Гiлка Ln0 z називається головним значенням функцiї Ln z i позначається ln z = ln |z| + i arg z.

327

тобто умови Кошi-Рiмана виконуються, i функцiя ln z аналiтична на всiй комплекснiй площинi з розрiзом вздовж вiд’ємної частини дiйсної осi, а її похiдна дорiвнює

Аналогiчно для кожної гiлки Lnk z.

Логарифмiчну функцiю комплексної змiнної можна ввести i з допомогою iнтеграла. З цiєю метою розглянемо

Z

dζζ ,

де — спрямлювана крива, яка не проходить через точки ζ = 0 i ζ = ∞. Оскiльки функцiя f(z) = z1 визначена i аналiтична на всiй комплекснiй площинi крiм точки z = 0, то цей iнтеграл залежить тiльки вiд початкової i кiнцевої точок шляху iнтегрування. Нехай точка ζ = 1 початок кривої , а точка ζ = z ї кiнець, а крива складається з прямолiнiйного вiдрiзка 1 з початком у точцi ζ = 1 i кiнцем у точцi ζ = |z| i дуги кола 2 з центром у точцi ζ = 0 радiуса |z| з початком у точцi ζ = |z| i кiнцем точцi ζ = z, причому будемо вважати, що крива не обходить точку ζ = 0. Тодi

Врахувавши, що коли γ — коло з центром у точцi ζ = 0 радiуса R, то

γ0

328

обходить точку ζ = 0, а саме

Z

dζζ = ln |z| + i arg z + 2kπi,

де k число обходiв кривою точки ζ = 0 (k — додатне, якщо обхiд здiйснюється у додатному напрямку, i k — вiд’ємне, якщо обхiд здiйснюється у зворотному напрямку). Звiдси маємо, що

z

де z — спрямлювана крива, що сполучає точку ζ = 1 i точку

ζ = z.

На заключення декiлька зауважень щодо розв’язування логарифмiчних рiвнянь та нерiвностей. Логарифмiчними називають рiвняння, якi мiстять змiнну пiд знаком логарифма. Найпростiшими логаримiчними рiвняннями є рiвняння виду loga x = b i його узагальнення loga f(x) = b. Очевидно, що останнє рiвносильне рiвнянню f(x) = ab. Найбiльш популярними у шкiльнiй

Рiвняння виду

loga f(x) + loga g(x) = loga h(x),

loga f(x) − loga g(x) = loga h(x),

α loga f(x) = loga g(x)

329

за допомогою основних властивостей логарифмiв зводяться до рiвнянь виду (22.10). Такий перехiд, взагалi кажучи, може привести до стороннiх коренiв. Тому з множини знайдених коренiв слiд взяти тiльки тi, якi належать множинi {x | f(x) > 0, g(x) > 0, h(x) > 0}, або перевiрити кожен з них пiдстановкою у вихiдне рiвняння.

loga(f(x)) , де p — рацiональне число, подання якого у виглядi нескоротного дробу має парний знаменник, то можлива втрата коренiв. Щоб запобiгти цьому, слiд користуватись основними властивостями логарифмiв у такому виглядi:

loga(f(x)g(x)) = loga |f(x)| + loga |g(x)|,

f(x)

loga g(x) = loga |f(x)| − loga |g(x)|,

log(f(x))p = p loga |f(x)|.

Приклад 1. Розв’язати рiвняння

log2(x2 + 3x2 + 2x − 1) = log2x x + log2x 2. log2(x3 + 2x2 − 3x + 5)

Розв’язання. Права частина визначена для x > 0 i x 6= 12. Для таких x

log2x x + log2x 2 = log 2x(2x) = 1.

i задане рiвняння записуємо у виглядi

log2(x3 + 3x2 + 2x − 1) = log2(x3 + 2x2 − 3x + 5).

Перейдемо до рiвняння

x3 + 3x2 + 2x − 1 = x3 + 2x2 − 3x + 5

330