або x2 + 5x − 6 = 0, розв’язками якого є x1 = 1, x2 = −6. Оскiльки виконуванi перетворення до втрати коренiв привести не могли, то з допомогою пiдстановки у вихiдне рiвняння переконуємось, що x = 1 є його єдиний корiнь.
Приклад 2. Розв’язати систему рiвнянь
(
31+2 log3(y−x) = 48,
2 log5(2y − x − 12) − log5(y − x) = log5(y + x).
Розв’язання. Скориставшись основною логарифмiчною тотожнiстю перше рiвняння запишемо у виглядi (y − x)2 = 16, де y − x > 0. Тодi задана система буде еквiвалентною системi
y − x > 0,
2y − x − 12 > 0,
y + x > 0,
(2y − x − 12)2
= y + x,
4
яка має єдиний розв’язок (16; 20).
Щодо логарифмiчних нерiвностей, то найпоширенiшим у шкiльнiй математицi є нерiвностi, якi мають вигляд
loga f(x) < loga g(x) |
(22.11) |
(нерiвнiсть може бути не строгою) або зводяться до них. Нерiвнiсть (22.11) еквiвалентна системi
f(x) > 0,
g(x) > 0,
f(x) < g(x),
якщо a > 1, i системi
f(x) > 0,
g(x) > 0,
f(x) > g(x),
якщо 0 < a < 1.
Приклад 3. Розв’язати нерiвнiсть
log 1 (x − 1) + log 1 (x + 1) + log√3(5 − x) < 1.
33
Розв’язання. Лiва частина нерiвностi визначена на множинi {x | x − 1 > 0, x + 1 > 0, 5 − x > 0} = (1; 5), i її можна подати у виглядi
|
− |
log |
(x |
− |
1) |
− |
log |
(x + 1) + 2 log |
(5 |
− |
x) = log |
(5 − x)2 |
< 1. |
|
3 x2 − 1 |
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
На множинi (1;5) задана нерiвнiсть |
еквiвалентна нерiвностi |
|
(5 − x)2 |
< 3 або x2 |
+ 5x |
− |
14 > 0. Отже, множиною розв’яз- |
|
x2 − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кiв є iнтервал (2;5). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Завдання для самоконтролю. |
|
|
|
1. Довести, що для будь-яких N1 > 0, N2 > 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
loga(N1N2) = loga M1 + loga N2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
loga |
N1 |
= loga N1 − loga N2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N2 |
|
|
2. Довести, що для будь-якого N > 0 i будь-якого α R loga Nα = α loga N.
3. Довести, що для a > 0, a 6= 1, b > 0, b 6= 1
loga N = logb N . logb a
4. Спростити вираз
lg b · 2log2 lg b 1/2 log−2 1/2 b2
s .
lg2 b + 1 + 1 − 100,5 lg lg b1/2 2 lg b
5.Виходячи з iнтегрального означення логарифмiчної функцiї, обгрунтувати властивостi, приведенi в 1–3.
6.Розв’язати рiвняння:
а) 32(log5(2x − 3)2)2 + 12(log5 √x)2 =
= (log5(2x − 3)3) log5 x3;
б) 1 + lg(1 + x2 − 2x) − lg(1 + x2) = 2 lg(1 − x);
√ √ √
в) (log2 x)2 + 3 = 2(1 + 3) log2 x.
7. Розв’язати системи рiвнянь:
(
log2(x2 + y2) = 5,
а)
2 log4 x + log2 y = 4
log2(x − y) = 5 − log2(x + y),
б) lg x − lg 4 = −1 lg y − lg 3
(
в)
log2(x + y) − log3(x − y) = 1, x2 − y2 = 2.
333
8. Розв’язати нерiвностi |
|
2|x| − 1 |
|
а) log3(x2 − 2) < log3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
б) log 2 ((x + 1)(x + 3)) + log2(x + 3) > −2 log4 11; |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
в) log5(√ |
|
|
+ 4) > |
|
|
2 + x − x2 |
|
|
|
|
|
25 |
|
+ 2. |
> log 5 √2 + x − x2 |
+ √1 − x + 3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
9.Нехай D — однозв’язна область, яка не мiстить точок z = ∞ i z = 0, але ще мiстить точку z = 1. Довести, що для всякого цiлого n в областi D iснує тiльки одна гiлка ϕ(z) функцiї w = Ln z, яка задовольняє умову ϕ(1) = 2πni.
10.Знайти образи площини з розрiзом вздовж вiд’ємної частини дiйсної осi при вiдображеннях гiлками логарифмiчної функцiї w = Ln z, якщо:
1) точка z0 = 1 переходить у точку w0 = 4πi; 2) точка z0 = −i переходить у точку w0 = 32πi; 3) точка z0 = i переходить у точку w0 = −72πi.
23 ЛЕКЦIЯ: Степенева функцiя дiйсної та ком-
плексної змiнної
Означення степеневої функцiї через поняття степеня, основнi властивостi. iншi пiдходи до означення степеневої функцiї. Степенева функцiя комплексної змiнної.
Лiтература. [1], ч. 1, с. 86–87, 90; [2], ч. 1, с. 136; [3], т. 1, с. 105; [4], с. 72–80, 104–107; [9], ч. 2, с. 362.
Будемо вважати, що для будь-якого дiйсного α означено степiнь будь-якого додатного числа з показником степеня α, зокрема 1α = 1. Для нього мають мiсце основнi властивостi, зокрема, для будь-яких x1, x2 R+ i будь-якого α R
Крiм того будемо вважати обгрунтованими основнi властивостi показникової функцiї.
Означення 23.1. Вiдповiднiсть, яка кожному x R+ вiдносить число xα, називається степеневою функцiєю i позначається y = xα (читається „x у степенi α“).
В силу означення її областю визначення є множина R+ i набирає вона тiльки додатних значень. Якщо α > 0, то для x > 1 степiнь xα > 1, а для x < 1 степiнь xα < 1. Звiдси маємо,
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
α |
|
що коли x1 < x2, то x2α |
|
x1α = x2α |
1 |
|
|
|
|
|
> 0, тобто |
− |
− |
x2 |
|
степенева функцiя y = x |
α |
|
|
|
|
|
у випадку α > 0 є зростаючою. Якщо |
ж α < 0, то для будь-якого x R+ xα = |
1 |
|
, де −α > 0. Звiдси |
x− |
α |
уже легко отримати, що степенева функцiя y = xα у випадку |
α < 0 є спадною. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Покажемо, що |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
(1 + x)α − 1 |
= α. |
|
|
|
|
|
(23.2) |
x→0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
Справдi, якщо покласти x = ey − 1 i скористатись тим, що
lim ey − 1 = 1,
y→0 y
то дiстанемо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
(1 + x)α − 1 |
= lim |
eαy − 1 |
= lim |
eαy − 1 |
|
|
y |
α = α. |
|
ey − 1 |
|
|
· ey − 1 |
x→0 |
x |
|
|
|
|
y→0 |
y→0 |
αy |
|
|
|
|
Теорема 23.1. Функцiя y = xα неперервна у кожнiй точцi |
своєї областi визначення. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доведення. Нехай x R+. Тодi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
0 |
4 |
y = |
lim ((x + |
4 |
x)α |
− |
xα) = |
|
|
4 |
x |
→ |
|
4 |
x |
→ |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
lim xα |
|
|
1 + |
4x |
|
α |
|
1 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
4x→0 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + |
4x |
|
α |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim xα−1 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x = 0, |
|
|
= |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
4 |
x |
→ |
0 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x
тобто нескiнченно малому приросту аргумента вiдповiдає нескiнченно малий прирiст функцiї. А це й означає, що функцiя y = xα неперервна у кожнiй точцi x R+.
Зауваження. Оскiльки функцiя y = xα є монотонною i неперервною на R+, то
x→0+0 |
|
= n→∞ |
n |
|
α |
( +∞, |
якщо α < 0, |
lim |
xα |
lim |
1 |
|
= |
0, |
якщо α > 0, |
|
|
|
|
|
x→+∞ |
|
= n→∞ |
|
|
|
( |
0, |
якщо α < 0. |
lim |
xα |
lim nα |
|
|
= |
+∞, |
якщо α > 0, |
Звiдси випливає, що множиною значень функцiї y = xα (α 6= 0) є множина R+.
Теорема 23.2. Функцiя y = xα диференцiйовна у кожнiй точцi своєї областi визначення, причому
|
|
|
y0 = αxα−1. |
|
|
|
(23.3) |
Доведення. Нехай x R+. Тодi |
|
|
|
|
lim |
4y |
= lim |
(x + 4x)α − xα |
|
= |
4x→0 |
4x |
4x→0 |
|
|
4x |
|
|
|
|
1 + |
4x |
|
α |
1 |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
x |
|
|
= lim |
|
|
= αxα−1, |
|
|
|
4x |
|
|
|
4x→0 |
|
|
|
|
|
|
|
x
тобто у кожнiй точцi своєї областi визначення функцiя y = xα має похiдну. А це й означає, що вона диференцiйовна у кожнiй точцi x R+.
Скориставшись основною логарифмiчною тотожнiстю, степе-
неву функцiю y = xα можна подати у виглядi |
|
y = xα = aα loga x, |
(23.4) |
де a > 0 i a 6= 1, тобто у виглядi композицiї логарифмiчної та показникової функцiї, i останнє можна прийняти за означення степеневої функцiї.
Означення 23.2. Вiдповiднiсть, яка кожному x R вiдносить eα ln x (за a взято число e), називається степеневою функцiєю i позначається y = xα = eα ln x.
При дослiдженнi так означеної функцiї слiд скористатись властивостями логарифмiчної i показникової функцiй, а також властивостями композицiї двох функцiй. Так, наприклад,
оскiльки для будь-якого додатного x α ln x α |
R, а |
показникова |
|
+ |
, |
функцiя визначена на R, то функцiя f(x) = x |
визначена на R |
|
причому для будь-яких x1, x2 R+
f(x1x2) = eα ln(x1x2) = eα(ln x1+ln x2) = eα ln x1 eα ln x2 = f(x1)f(x2).
А оскiльки композицiя двох зростаючих функцiй є зростаюча, а композицiя спадної i зростаючої функцiй є спадна функцiя, то врахувавши, що функцiя α ln x зростає, якщо α > 0 i спадає якщо α < 0, а функцiя ex зростає, маємо, що степенева функцiя зростає, якщо α > 0, i спадає, якщо α < 0. Ця функцiя неперервна, як композицiя двох неперервних функцiй. i нарештi,
y0 = (xα)0 = (eα ln x)0 = eα ln x(α ln x)0 = xα αx = αxα−1.
Можна дати також i дескриптивне означення степеневої функцiї.
Означення 23.3. Степеневою функцiєю називають таку функцiю f, для якої
1)D(f) = E(f) = R+;
2)функцiя f неперервна на R+;
3)для будь-яких x1, x2 R+ f(x1x2) = f(x1)f(x2);
4)має мiсце рiвнiсть f(a) = b, де a, b R+, a 6= 1.
Очевидно, що степенева функцiя y = xα, де α = loga b, задовольняє всi чотири властивостi. Залишається довести єдинiсть.
Теорема 23.3. Для будь-яких a, b R+ a 6= 1 iснує єдина функцiя, яка задовольняє властивостям 1) – 4).
Доведення. Прупустимо, що крiм функцiї y = xα, де α = loga b iснує ще одна функцiя f, яка задовольняє властивостi 1) – 4) i не збiгається з функцiєю y = xα. Насамперед очевидно, що f(1) = 1 i для будь-яких x1, x2, . . . , xn R+
f(x1x2 . . . xn) = f(x1)f(x2) . . . f(xn).
Звiдси отримаємо, що для будь-якого натурального n f(an) = bn,
f(a− ) = b− . А оскiльки b = f(a |
1 |
· |
|
) = |
f(a |
1 |
) |
n |
pf(a |
1 |
) = b |
1 |
|
, |
n |
n |
n |
|
n |
|
|
n |
|
|
то |
n |
|
n , |
а отже, для будь-якого рацiонального числа r = q , де q N,
p Z |
p |
|
1 |
p |
1 |
|
p |
|
f(ar) = f aq |
= f(aq ) |
|
= bq |
= br. |
Нехай γ — довiльне iррацiональне число i послiдовнiсть (rn) є послiдовнiстю його рацiональних наближень. Тодi в силу непе-
рервностi функцiї ax, lim f(rn) = lim brn = bγ. Таким чином,
n→∞ n→∞
для будь-якого дiйсного числа c має мiсце рiвнiсть f(ac) = bc. Звiдси маємо, що для будь-якого x R+
f(x) = f aloga x = bloga x = aloga b loga x = = aloga b loga x = aloga xloga b = xloga b,
тобто для кожного x R+ f(x) збiгається з функцiєю y = xloga b. Отримане протирiччя i доводить, що iснує єдина функцiя, яка задовольняє властивостi 1) – 4).
Зауваження. Якщо α — рацiональне додатне число i у поданнi α = pq , де p, q N (p, q) = 1, q — непарне, то степеневу
функцiю y = xα можна продовжити на всю числову вiсь, поклавши f(0) = 0 i для x < 0
(
|x|α, якщо p — парне,
xα =
−|x|α, якщо p — непарне,
339
розпочинається у VIII класi (y = x2, y =
У випадку парного q функцiя y = xα доозначається тiльки у точцi x = 0 (0α = 0). Якщо ж α — рацiональне вiд’ємне число i у поданнi α = pq , де p Z, q N, (|p|, q) = 1, q — непарне,
то степеневу функцiю y = xα доозначають як i для α додатного, але тiльки для x < 0.
У шкiльному курсi математики вивчення степеневої функцiї
√x, y = xk ), продов-
жується у IX класi, де фактично уже йде мова про степеневу функцiю y = xα з рацiональним показником. У X класi пiсля узагальнення поняття степеня [8, с. 153–158] степенева функцiя означається так „Функцiю f(x) = xp, де p — стале дiйсне число, а x — (основа) змiнна, називають степеневою функцiєю.“ Область визначення такої функцiї пов’язується з показником степеня p.
Означення степеневої функцiї комплексної змiнної можна дати за зразком означень 23.1 i 23.2.
Означення 23.4. Вiдповiднiсть, яка кожному комплексному числу z 6= 0 вiдносить степiнь zα, де α C, називається степеневою функцiєю комплексної змiнної i позначається w = zα.
Якщо врахувати, що для z = x + iy C
ez = ex(cos y + i sin y) = ex · eiy,
а для кожного z 6= 0 i α = a + bi
zα = eα Lnz,
де
α Ln z = (a + bi) Ln z = (a + bi)(ln |z| + i(arg z + 2kπ)) =
= a ln |z| − b arg z − b2kπ + i(b ln |z| + a arg z + a2kπ),
