10. Обратная матрица. Определение. Теорема существования и единственности.
Пусть А квадратная матрица (nxn) называется неособенной(невырожденной),если ее определитель не равен нулю(D). Если ее определитель равен нулю(D=0), то она особенная(вырожденная).
Если существует матрица В, такая что: АВ=ВА=Е, то В называется обратной матрицей А(В=).
Теорема: Если матрица невырожденная, то она имеет обратную матрицу и при том единственную.
Д-во: Пусть А=– квадратная матрица, у которойdetA≠0-невырожденная
составим Ã = , где-алгебаическое дополнение элементоввdetА j=1,n. Подчеркнём, что в i-ой строке матрицы Ã стоят алгебраические дополнения к элементам i-ого столбца detA.Матрицу Ã называют присоединенной матрицей А.Умножим все элементы Ã на число =
=
Докажем, что матрица обратная матрица, т.е..Составим произведение:
A * =*= =
По свойству, говорящему о том что произведение элемента матрицы на алгебраическое дополнение другого элемента матрицы, суммы расположенные на главной диагонали естьdetA=D ,а все остальные суммы равны нулю.
А*== Е. Доказано существование
Докажем единственность .Предположим существование еще матрицы С, такой что АС=СА=Е
* АС=*А*С=ЕС=С
* АС==> С=
лет 12: Отыскание обратной матрицы с помощью элементарных преобразований строк матрицы .
А – квадратная матрица n-го порядка, надо найти обратную матрицу .
- 1й столбец единичной матрицы E n-го порядка
(1)
в результате получили 1й столбец обратной матрицы. Заметим, что матричное уравнение , эквивалентно системе n линейных уравнений с n неизвестными. Поэтому чтобы найти 1й столбец обратной матрицы нужно решить систему n линейных уравнений с n неизместными, где в качестве свободных членов взят столбец- 1й столбец единичной матрицы En-го порядка.
Чтобы найти n столбцов матрицы нужно решить n систем линейных уравнений, беря в качестве свободных членов столбцы. Так как матрица коэффициентов A у всех этих систем одна и та же, то расширенные матрицы таких систем можно объединить в одну матрицу:
Решим эти n систем методом Гаусса-Жордана одновременно, поскольку в их левой части одна и та же матрица. Для этого запишем матрицу, содержащую в первых n столбцах матрицу системы, а в последних n столбцах — единичную матрицу, и выполним Гауссово исключение,исползуя элементарные преобразования так, чтобы получилось:
Очевидно, что матрица, расположенная в последних n столбцах — обратная матрица.
Билет29: Собственные значения и собственные вектора линейного преобразования, их отыскание.
Ненулевой вектор х(с чертой наверху, далее просто черта) называется собственным вектором л.п. α, если оно переводит х(ч) в коллинеарный ему λх(черта):
α (х(черта))= λх(черта) (1)
Число λ в (1) называется собственным значением преобразования α , соответствующим собственному вектору х(черта). Найдем все собственные векторы:
Пусть:
е1, е2,…, еn– базис Rn
Перепишем (1) в координатной форме:
Система (фигурные скобки): (2)
λх1=a11x1+a12x2+…+a1nxn,
λх2= a21x1+a22x2+…+a2nxn,
…
λхn= an1x1+an2x2+…+annxn .
Система (3):
(a11-λ)x1+a12x2+…+a1nxn=0,
a21x1+(a22-λ)x2+…+a2nxn=0,
…
an1x1+an2x2+…+(ann-λ)xn=0.
Однородная система (3) имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда ее определитель = 0.
Определитель (прямые скобки): (4)
a11-λ a12 … a1n
a21 a22-λ … a2n = 0
…
an1 … ann-λ
Многочлен n-ой степени относительно λ в левой части уравнения (4) – характеристический многочлен преобразования α (альфа).
Уравнение (4) – характеристическое уравнение преобразования α (альфа).
Всякому действительному корню λ 0 уравнения (4) отвечает собственный вектор, который находится путем решения совместной системы (3) относительно x1,x2,…,xn после подстановки λ 0 вместо λ в эту систему.
Замечание:
В матричной форме система (3):
(A- λE)X=θ , где
A - матрица линейного преобразованияя α
Е – единичная матрица того же порядка, что и А,
Х – вектор-столбец из координат вектора х(черта).
Отыскание:
1)множество собственных значений линейного преобразования α (х(черта)):
det(A- λE)=0 – характеристическое уравнение
2)Собственные векторы:
(A- λiE)X=θ
Билет29:
(A- λiE)X=θ