билеты матан 3 мод 2010

№1.Понятие первообразной. Неопр интеграл.

Функция F(x) на некотором промежутке X называется первообразной для функции f(x) на некотором множестве Х , если для любого x∈X выполняется условие F’(x)=f(x). ЛЕММА: функция, производная от которой на промежутке Х равна 0, постоянна на этом промежутке. Если F есть первообразная для f на Х, то любая другая первообразная может быть представлена в виде:

F(x)+c, где F(x) – первообразная, C – любая постоянная, F’(x)=f(x).

Если функция F(x) первообразная для функции f(x) на промежутке X, то множество функций F(x)+C, где C -- произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом для функции f(x) на промежутке X и обозначается: ∫f(x)dx=F(x)+C

Операция восстановлении функции по ее производной называется интегрированием.

№2.Свойства неопределенного интеграла

1)производная от неопр интеграла равна подынтегральной функции 2)диффер. от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению 3) неопр интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произв. постоянной 4) Отличный от нуля постоянный множитель k можно выносить за знак неопределенного интеграла 5)неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов этих функций

№3 Таблица интегралов.

№4 Методы интегрирования.Метод разложения

Методы интегрирования:

• Разложение

• Непосредственное интегрирование

• Замены переменной( подстановки)

• По частям

Метод разложения Этот метод применяется для интегрирования функций f(x), представляющих собой алгебраическую сумму нескольких функций f₁(x); f₂(x);...; f_n(x), первообразные которых заранее известны или могут быть легко получены. Тогда в соответствии со свойством 3 неопределенного интеграла получаем

№5 Метод замены переменной(подстановки)

Если функция  f ( z ) определена и имеет первообразную при  z Z , а функция  z = g ( x ) имеет непрерывную производную при  x X  и её область значений  g ( X ) Z , то функция  F ( x ) =  f  [ g ( x )]  g' ( x ) имеет первообразную на  Х  и

F ( x ) dx = f [ g ( x )] • g' ( x ) dx = f ( z ) dz , где g(x)=z, g´(x)dx=dz

№6. Метод интегрирования по частям.

# Пусть функции u(x) и v(x) определены и дифференцированы на некотором множестве х, и пусть функция u’(x)*v’(x) имеет на этом множестве первообразную, тогда на множестве х функция u(x)*v’(x) тоже имеет первообразную, причем справедлива следующая формула:

Su(x)*v’(x)dx=u(x)*v(x)-Su’(x)*v(x)dx

[u(x)*v(x)]’=u’(x)*v(x)+u(x)*v’(x)

u(x)*v’(x)=[u(x)*v(x)]’-u’(x)*v(x) dx

Su(x)*v’(x)dx=S[u(x)*v(x)]’dx-Su’(x)*v(x)dx

↓

=d(u(x)*v(x))=u(x)*v(x)

# метод интегрирования по частям в тригонометрической функции применяется дважды, в качестве u оба раза следует выбирать либо показат. функцию, либо тригонометр.

№7. Интегр-ие тригоном-их ф-ий. 1) Преобразование произв-ия в сумму. cosαx cosβx, sinαx sinβx, sinαx cosβx.

cosαx ∙ cosβx = ½(cos(α−β)x + cos(α+β)x)

sinαx∙ sinβx=½(cos(α−β)x – cos(α+β)x)

sinαx∙ cosβx=½(sin(α−β)x + sin(α+β)x)

№8. Интегрирование рациональных дробей

Выражение , где Pm(x) и Qn(x) – многочлены m-й и n-й степени, называется рациональной дробью. Рациональная дробь называется правильной, если m<n, и неправильной, если m≥n. Если дробь неправильная, следует разделить числитель на знаменатель с выделением частного и остатка.

Теорема: любая правильная элементарная дробь может быть представлена в следующем виде: (P_m(x)/Q_n(x) ) = = A₁/(x-a)+A₂/(x-a)²+...+A_k/(x-a)^k+(B₁x+C₁)/(x²+px+q)+(B₂x+C₂)/(x²+px+q)²+...+ (B_ex+C_e)/(x²+px+q)^e

Это разложение называется разложением дробно-рац ф-и на элементарные дроби Q_n(x)=(x-a)^k

Если при разложении скобка повторяется к раз, то к-корень кратности. Правую часть мы приводим к общему знаменателю, дальше сравниваем числители дробей, т.к там присутствуют многочлены, то приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях Х, получаем систему для нахождения неизвестных коэффициентов.

Имеется 4 типа правильных дробей:

№10. Свойства определенного интеграла.

1) 2)

3)

4)

5)

№11. Оценки определенных интегралов

1. Если на отрезке [a;b] f(x)≥0, то : ∫f(x)dx≥0

2. [a;b] ; f(x)≤g(x) => ∫^b_a f(x)dx≤ ∫^b_a g(x)dx

h(x)=g(x)-f(x)≥0

0≤ ∫^b_a h(x)dx

3. [a;b] ; f(x), то |∫^b_a f(x)dx |≤ ∫^b_a |f(x)| dx

Доказательство: -|f(x)|≤f(x)≤|f(x)|

-∫^b_a |f(x)| dx ≤ ∫^b_a f(x)dx ≤ ∫^b_a |f(x)| dx

|a|≤b -b≤a≤b

Если на отрезке [a;b] имеет место неравенство |f(x)| ≤ k , то |∫^b_a f(x) dx |≤ k (b-a)

4. Если функция достигает своих минимальных (m) и максимальных (М) значений на [a;b], то имеет место следующая оценка m|b-a| ≤ ∫f(x)dx ≤ M|b-a|

№9. Определенный интегралл его геометрический смысл.

Если существует конечный предел суммы δ=f(η₁)*∆x₁+f(η₂)*∆x₂+...+f(η_n)*∆x_n при x→0, то этот предел называется определенным интегралом f(x) на [a;b], где a, b - верхний и нижний пределы интегрирования.

∫^b_af(x)dx= lim(λ→0) ∑ⁿ_i=1f(η_i)*∆x_i

Пусть на отрезке [а; b] задана непрерывная функция у = ƒ(х) ≥ 0. Фигура, ограниченная сверху графиком функции у = ƒ(х), снизу — осью Ох, сбоку — прямыми х = а и х = b, называется криволинейной трапецией. Найдем площадь этой трапеции.

Для этого отрезок [а; b] точками а=х0, х1, ..., b=хn (х0<x1<...<xn) paзобьем на n частичных отрезков [хо;х1], [х1;х2],...,[хn-1;хn]. (см. рис. 168). В каждом частичном отрезке [xi-1;xi] (i=1,2,..., n) возьмем произвольную точку ci и вычислим значение функции в ней, т. е. ƒ(ci).

Умножим значением функции ƒ(ci) на длину ∆xi=xi-xi-1 соответствующего частичного отрезка. Произведение ƒ(ci) • ∆xi равно площади прямоугольника с основанием ∆xi и высотой ƒ(ci). Сумма всех таких произведений

равна площади ступенчатой фигуры и приближенно равна площади S криволинейной трапеции:

С уменьшением всех величин Δхi точность приближения криволинейной трапеции ступенчатой фигурой и точность полученной формулы увеличиваются. Поэтому за точное значение площади S криволинейной трапеции принимается предел S, к которому стремится площадь ступенчатой фигуры Sn, когда n неограниченно возрастает так, что λ = max∆xi →0:

Итак, определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции.

В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла.

№12.Теорема о среднем.

Если f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то существует точка , такая что . Док-во. Функция, непрерывная на отрезке, принимает на этом отрезке своё наименьшее m и наибольшее M значения. Тогда . Число заключено между минимальным и максимальным значениями функции на отрезке. Одно из свойств функции, непрерывной на отрезке, заключается в том, что эта функция принимает любое значение, расположенное между m и M. Таким образом, существует точка , такая что .

№13 Определенный интеграл с переменным верхним пределом

верхний предел интеграла может меняться, т.е. что x - переменная, в результате интеграл будет функцией Ф(x) своего верхнего предела: . Легко доказать, что если f(t) интегрируема, то Ф(x) непрерывна, но для нас важнее следующая фундаментальная теорема: Теорема об интеграле с переменным верхним пределом. Если функция f(t) непрерывна в окрестности точки t = x, то в этой точке функция Ф(x) дифференцируема, и . Другими словами, производная определённого интеграла от непрерывной функции по верхнему пределу равна значению подынтегральной функции в этом пределе. Док-во. Дадим верхнему пределу x приращение . Тогда

, где c - точка, лежащая между x и (существование такой точки утверждается теоремой о среднем; цифры над знаком равенства - номер применённого свойства определённого интеграла). . Устремим . При этом (c- точка, расположенная между x и ). Так как f(t) непрерывна в точке t = x, то . Следовательно, существует , и . Теорема доказана.

Следствия: 1.Любая непрерывная функция f(x) имеет первообразную, и эта первообразная определяется формулой , 2. формула Ньютона-Лейбница, или основная формула интегрального исчисления.

№ 14. Формула Ньютона-Лейбница

Если непрерывна на отрезке и F — ее первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство

Док-во: в силу того, что f(x) непрерывна на [a;b] , она имеет первообразную F (x) во всех точках промежутка. Существует С*, такое, что = F(x) + C*. Равенство верно при любом х из [a;b].

X=a, , F(a)+C*=0, C*=-F(a)

X=b, *= F(b)-F(a), чтд.

№15 Особенности вычисления определенных интегралов.

Пусть функция у = f(x) определена во всех точках отрезка [а; b]. Произвольной конечной системой точек x₁, i = 0, 1, ... , п, таких что

а = х₀ < х₁ < х₂ < ... < х_n-1 < х_n = b

разбиваем отрезок [а; b] на отрезки [x_i; x_i+1]; i = 0, 1, ... , n - 1. На каждом из полученных отрезков произвольным образом выбираем точку c_i+1: c_i+1 [x_i; x_i+1], и рассчитываем значение функции у = f(x) в этих точках. Составляем так называемую интегральную сумму, соответствующую данной разбивке x_i и выбору точек c_i+1, i = 0, 1, ... , n - 1 : где x_i = х_i+1 - х_i Обозначим через = max |x_i|, т. е. - длина наибольшего из отрезков [x_i; x_i+1]. Определение 1. Если при -> 0 (n -> ) существует конечный предел интегральных сумм , то этот предел называется определенным интегралом функции у = f(x) на отрезке [а; b]: Определение 2. Если существует определенный интеграл функции у = f(x) на некотором отрезке, то функция называется интегрируемой на этом отрезке. К числу наиболее важных типов интегрируемых функций относятся непрерывные функции; ограниченные функции, имеющие конечное число точек разрыва; ограниченные монотонные функции.

№16. Вычисление площади плоской фигуры.

Для вычисления площади плоской фигуры используют следующие этапы:

1) определяется вид искомой площади фигуры

2)устанавливаются пределы интегрирования

3)устанавливаются участки, на которых подынтегральная функция положительная и отрицательная

4)берутся интегралы, на каждом участке находится суммарная абсолютная величина площадей этих участков

Если требуется вычислить S фигуры, ограниченной двумя кривыми на участке

[a,b] y₁= f₁(x), y₂=f₂(x), то искомая S находится как разность площадей криволинейных трапеций, ограниченных разными кривыми

S= _a∫^b f₁(x)dx - _a∫^b f₂(x)dx = _a∫^b (f₁(x) - f₂(x))dx

В некоторых случаях пределы интегрирования не заданы, и они находятся в процессе решения.

№17. Вычисление площади поверхности тела вращения

Найдем площадь поверхности, которая образуется вращением кривой вокруг оси , где .

Указанную площадь можно получить вычислением определенного интеграла:

Теперь рассмотрим случай, когда вращаем кривую вокруг оси , где

В этом случае площадь определяется вычислением следующего определенного интеграла:

№18. Вычисление объема тела вращения.

Рассмотрим тело, которое образовано вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной

Объем этого тела

.

Если криволинейная, ограниченная

, вращается вокруг оси Oy, то объем полученного тела вычисляется по формуле

.

Докажем сформулированные утверждения. Заметим, что если - разбиение отрезка , то будет представлять приближенно объем тела вращения. Это выражение можно рассматривать как интегральную сумму. Переходя к пределу, получаем

.

№19. Вычисление длины дуги кривой.

Пусть известна функция и требуется найти длину дуги, заданной функцией , где .

Для определения длины дуги необходимо вычислить определенный интеграл:

№20. Несобственные интегралы.

Будем считать, что определена и непрерывна в и стремится к бесконечности при . Составим интеграл

.

Очевидно, что в этом случае интеграл зависит от значений ε. Перейдем к пределу при и назовем этот предел несобственным интегралом первого рода:

.

Если сущ-ет и конечен, то несобственный интеграл наз. сходящимся. Если этот предел не сущ-ет или бесконечен, то несобственный интеграл наз. расходящимся.

Предположим, что непрерывна в любом конечном промежутке , тогда сущ-ет определенный интеграл . В данном случае величина b задает верхний переменный предел интегрирования.

Устремим b к бесконечности и рассмотрим предел

,

который назовем несобственным интегралом второго рода. Если этот предел сущ-ет и конечен, то интеграл наз. сходящимся. Если предел не сущ-ет или бесконечен, то несобственный интеграл наз. расходящимся.

Следует отметить важное св-во несобственных интегралов.

Известно, что для опред. интеграла справедливо утверждение:

если сущ-ет , то сущ-ет и интеграл .

В случае несобственных интегралов получаем след. утверждение: из сходимости несобственного интеграла от следует сходимость несобственного интеграла от . Примем это утверждение без док-ва.

Если несобственный интеграл сходится, то говорят, что интеграл сходится абсолютно. (Аналогично абсолютная сходимость опред-ся для несобственного интеграла первого рода).

Следует заметить, что сходимость несобственного интеграла не влечет сходимости несобственного интеграла . Такую сходимость будем наз. условной.

№21.Теоремы сравнения

Т 1. Если φ(х), f(x)– неотрицательныефункции и φ(х) f(x) для то:

1. Из сходимости следует сходимость ;

2. Из сходимости следует расходимость

Т 2. Если φ(х), f(x)– неотрицательныефункции и существут конечный предел , то несобственные интегралы и сходятся или расходятся одновременно.

№23. Обыкновенные диф уравнения. Их решения.

Обыкновенным диф.уравнением называется соотношение вида F(x,y,y’,y’’,…y⁽ⁿ⁾)=0 (1), которая связывает первый независимый аргумент (х), неизвестную функцию (у) и ее производную.

Порядок старшей производной в диф.уравнении называется порядком диф.уравнения.

Замечание: y⁽ⁱ⁾ не обязательно входит в уравнение (1)

Решением диф.уравнения называется функция y=φ(x), которая при подстановке ее в (1) превращает последнее в тождество.

График решения диф.уравнения – интегральная кривая этого уравнения.

К основным задачам теории диф.уравнений относятся: 1) разыскание всех решений; 2) изучение свойств этих решений.

Решить диф. уравнение=проинтегрировать.

Общим решением диф.уравнения (1) называется такая функция y=ф(x, y, C₁,…,C_n)(2), где n- порядок диф.уравнения.

Если каждой из const C_i присвоить определенное значение, то решение, полученное после подстановки этих значений в (2) будет называться частным.

Диф.уравнение называется линейным, если все производные функции и сама ф-я входит в уравнение (1) в первой степени.

a₀(x)*y⁽ⁿ⁾+a₁(x)*y^(n-1)+…+a_(n-1)(x)*y’+a_n(x)*y=f(x)

№22. Применение интегралов в экономике

Пусть функция z=f(x) описывает изменение производительности некоторого производства с течением времени. Тогда объем продукции , произведенной за промежуток времени вычисляется по следующей формуле:

Возможность учета влияния различных факторов на изменение производительности производства связана с использованием,например, так называемых функций Кобба-Дугласа. Вэтом случае производительность f(t) представляется в виде произведения трех сомножителей:

Доход от реализации количества товара x0 по равновесной цене р0 равен проиведению х0р0. Если предполагать непрерывное снижение цены рD=f(0) до равновесной р0 по мере удовлетворения спроса,то доход составит . Величина денежных средств сберегается потребителями, если предполагать продажу товара по равновесной цене р0, поэтому С называется также выигрышем потребителей.

Аналогично,

называется выигрышем потребителей.