билеты готовы

1.Вект-направлен.отрезок.равные-если имеют одинак.длины,лежат на парал прямых/на одной прямой,направлены в1сторон.орт вектора-единичн вектор,имеющ одинак направлен с дан вектором а,обознач-а◦.пр_ua=|a|cosβ(угол наклон к оси u)Длина вект-|a|=(X²+Y²+Z²)^1\2 (X=x2-x1,Y=y2-y1,Z=z2-z2),X=|a|cos a,Y=|a|cosβ,Z=|a|cos γ(углы м/у а и корд ос)=>сos²a+cos²β+cos²γ=1,Корд вект-из корд конц вычесть корд нач,Сложен векторов(рис):Призн коллинеарн(лежат на 1прям/на парал) вект-(X2/X1)=(Y2/Y1)=(Z2/Z1);Скаляр произ-е вект-ab=|a|*|b|*cosγ(угол м/у ними)=|a|*пр_a b=|b|*пр_ba(ab>0,есл γ-остр и наоборот,ab=0,есл перпендик)=X1X2+Y1Y2+Z1Z1(есл вект перпендик,то эт=0)=,a²=|a|²,cosγ=(X1X2+Y1Y2+Z1Z2)/((X1²+Y1²+Z1²)^½)*(X2²+Y2²+Z2²)^½)),Вект произ-е-a×b=[ab]=|a|*|b|sinA(угол м/у ними);[ab]-перпендик к а и b;направл-е [ab] по «прав руки»(если3вект приведены к 1 началу,то[ab]долж направлен так,как направл средн палец прав руки,большой направлен по a,указ-по b),|[ab]|=S(площ параллелограмм построен на векторах a,b);[ab]обращ в 0,есл а,b-коллинеарн;[ab]=-[ba](Рис2)Напрявляющ вект какой-л прям-любой ненул вект,кот лежит на дан прям или прям,парал эт прямой(Т-прям лин полностью опред-на(т.е. мож сост ее ур-е),есл на прям известна какая-л т.и известен ее направляющ вект),Основн теор о прям-1.Всяк алгебр ур-е 1й степ(ax+by+c=0в1)опред-т на пл-ти некотор прям лин m,2.Всяк прям на пл-ти есть мн-во точ кот яв реш-ми некот алгебр ур-я в1

2.Основн теорема о прям на пл-ти-Ax+By+C=0(только оно опред-т прямую на пл-ти);перпендик прям-k1=(-1/k2),парал-k1-k2,Урав-я прямой-((x-x0)/(x1-x0))=((y-y0)/(y1-y0))-ч/з2задан точки на прям;y=kx+b;(рис3)y-yM=k(x-xM)-ур-е пучка прямых;параметр.ур-е-{x=x0+tγ;y+y0+tβ};канонич ур-е-(x-x0)/l=(y-y0)/m(x,y-коорд люб.т,l,m-коорд направ вект);Расстоян от т.до прям=(рис4)

Угол м/у 2прям-tgA=(k2-k1)/(1+k1k2);Угол от одн прям до др-y=k₁x+α₁(1),y=k₂x+α₂(2).Углом от прям(1)до(2)наз угол α₁₂,на кот нужн повернуть прям(1)п/в час стрел до совмещ-я с пр(2).α₁₂=0,tg α₁₂=0↔ k₁=k₂–прям парал.α₁₂=π/2,tg π/2–не сущ→ k₁=-1/k₂-прямые перпендик.

3.Ур-е пл-ти-A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0(A,B..коорд век.нормали,x,y..коорд т.на пл-ти),чтобы найти вект перпендик2м вект,нужн найти вект произ-е;Осн теорема пл-ти-Люб ур-е1й степен опред-т пл-ть;Пл-ть-множ-во точ,кажд из кот явл рещ-м ур-я1й степ;Расстоян от т до пл-ти-d=|xcosA+ycosB+zcosC-p|(p-расстоян от нач корд до пл-ти,x,y,z-коорд точк);Св-во дистрибут-ти слева объедин-я отн-но пересеч-я A∩(BUC)=(A∩B)U(A∩C);AU(B∩C)=(AUB)∩(AUC)Будем исходить из опред1рав-ва двухмн-в:X=Y,если эт мн-ва содержат одни и те же эл-ты.Эт означ,чтоX=Y,есл вып-ся:1)есл x€X,то x€Y;2)есл x€X,то x€Y.Пусть эл x€AU(B∩C).Из опред операции объед-я след-т:x€A или x€(B∩C).Возм-ны слуаи:1)x€A и x-€(B∩C).Т.к.x€A,то x€объедин-юAс люб мн-вом,в том числе x€(AUB)и x€(AUC).Из опред опер-и пересеч след-т:x€(AUB)∩(AUC);2)x-€A и x€(B∩C).Т.к.x€(B∩C),то x€Bи x€C.Тогда x€(AUB)и x€(AUC).След-но,x€(AUB)∩(AUC).Пусть эл x-€AU(B∩C).Эл -€ объед-ю двух мн-в,есл он -€ ни одному из них,т.е.x-€A и x-€B.Возм-ны случаи:1)x-€A,x-€B,x€C.Тогда x-€(AUB)и x-€(AUB)∩(AUC).2)x-€A,x€B,x-€C.тогда x-€(AUC),след-но, x-€(AUB)∩(AUC).

4.Множ-ва-в мат0ке совокуп-ть,набор объектов,обладающ опред св-ми.Обознач-ся больш буквами(X,Y,B),эл обознач мал(x,y).Множ-ва бывают конечными(конечн число эл) и бесконечн.Отображ-е мн-в-Пусть А и В-2мн-ва.Есл каждому эл x€A по нек правилу приведен в соотв-е1 и только1 эл y€B,то говорят,что:1)задано отображ-е мн-ва Ав мн-воВ;2)задана ф-я,опред-ая на мн-ве А со знач-ми в мн-ве В.Обознач-е:y=f(x),x€A,y€B.Факт отображ-я записывается так:A→(рис5)В и считают:отображ-е мн-ваАв мн-воВпо правилуf,согласно кот каждому эл x изА ставится в соответ-ие един-ый эл у изВ.Исп-ся и др.запись:f:A→B.Эл у,получа-ый из х по правилу f,наз-ся образом эл х,а х наз прообразом эл у.Если отображ-е А→(рис5)Втаково,что кажд эл у€В явл образом хотябы одного эл х€А,то говорят,что задано отображ-е мн-ва Анна мн-воВ(суективное отораж-е,суръекция)Кажд эл у€В яв образом одного и тольк1 эл х€А,то говорят,что задано взаимно-однознач-е отображ-е мн-ваАна мн-воВ.Есл сущ взаимно однозна-е отображ-еАнаВ,то говорят,что м/у ними сущ взаимно

однозначное соответ-ие.Счетные-есл мн-воА эквивалентно(равномощно)мн-ву N,что обзнач-ся А~N(a1,a2,..,an-эл так мн-ва можно пронумеровать нат ислами так,чтоб все эл имели разн номера)рис6 .Несчет-есл мн-во не явл конечн и не явл счетн.Его эл нельзя пронумер-ть нат чис-ми.Мн-во всех дейст чисел имеет мощн-ть,наз-ую континуумом;мн-ва,эквивалент-е мн-ву действ чиселR,наз континуальными.Прим:Докажем,что мн-во всех точек отрезка[A,B]эквивал-но мн-вуR(мн-ву всех точ на прям)Д/этого установим взаимнооднознач-е соответ-ие м/у эл-ми эт мн-в.Представим себе,что отрез[A,B]согнут в полуокр ABC,а прям m яв касат в точC(рис7)Возьмем люб точТ полукруна и проведем лучST,S-центр полукруг .ЛучSTпересечет прямую m в опред-ой т,кот обозначим f(T) Ес т Тбудет двиг-ся по дугеСВ от точСк точВ,то т f(T)будет двиг-ся по лучу справа от тС.Ес т.Tбудет двиг-ся по лев дугеСА,то т.f(T)прямой m буд двиг-ся по лучу слева отС.Так образом,кажд точ полукруга ACB,кот получен пу- тем сгиб-я отрезка[A,B],мы поставили в соответ-ие определен точ прям m.При эт т.С переходит сама в себя,а т.AиBсоответ-ут бесонеч удалее точ(-ω)и(+ω)Мы устан-ли взаимноодноз-е соотв-е м/эл двух рассматр-ых мн-в.Док-во мн-во точек отрезка!!Конеч промеж-ки-отрезок(мн-во вещ чисел x,удовлетворяющ нер-ам a≤x≤b,обознач[a,b]) +рис,интервал(мн-во вещ чис x,удовлет-х нер-ам a≤x≤b,обознач(a,b),полузамкнут интерв(есл 1из чисел a или b присоед-ся к интерв,а др не присоедин-ся,обозн a≤x<b ил a<x≤b.[a,b),(a,b],окрестн-ть т-люб интер(a,b),содержащточ.окр опред точ x0 обознач u(x0)рис8,ε-окрест-ть точки х0-интервал(х0 -ε,х0 +ε),где ε>0-дост-но мал положит число,обознач u(x0).ε-наз радиус окррис9.Бесконеч рис-мн-во всех веществен чисел,обознач(-ω,+ω).Изображ в виде бесконеч в обе стор числ прям;Мн-ва вещ чисел удовлетворяющ нер-ам x>a,a≤x(обознач (a,+ω),[a,-ω)рис10 и x<b,x≤bрис11обознач (-ω,b),(-ω,b].cчитают –ω,+ω любR.x+(+ω)=+ω,x+(-ω)=-ω,x*(±ω)= ±ω,x>0;+ω+(+ω)=+ω;-ω+(-ω)=-ω; ω-ω-неопред-ть;х/ω=0; ω/ω,0/0,0(±ω)-неопред-ть;

7)Функц-есл кажд знач-ю переменного велич х из об-ти ее изм-яХ по нек правилу ставится в соответ-ие одно определен знач-е другой еремен вел у,то перемен у наз-ся ф-ей от переменной х.Способы задан ф-и:1)аналитич(задан ф-и при пом формулы)Обл опред-я ф,задан аналитич-ки нах как мн-во знач-й х,д/кажд из кот все матем операц,входящ в формулу,имею смысл(Прим:у=lg(x+3)ф определена,есл х+3>0,т.к.операц взятия лог определнена толь д/положит чисел=>X={x:x>-3};2)Табличн задан,3)Графич спос(зад при пом графика-эт мн-во точ пл-ти(хоу),абсциссы кот есть знач-я аргумента,а ординаты-соотв знач-я ф-й);Осн элементар(кот получ-ся из основных элементарн ф-й,с пом конечн числа арифм чисел и взятия ф-и от ф-и) ф-и:1)степен ф-я-у=x^a(действ числ):а)нат число(рис12),б)целое отриц числ,х=/0(рис13)в)степен ф-и при дробнорациональн знач-х a(рис14);2)показ ф-я-у=а^x,a>0,a≠1,ф-я определена люб x€R(рис15),3)логарифм ф-я-у=log_ax,a>0,a≠1(рис16);4)тригоном ф-я-у=sinx,cosx(определен при люб x€R),tgx(при всех х,кром х=(2k+1)*π/2),ctgx(не опред при x=kπ,k€Z(рис17),5)обратнтригоном ф-и-a)y=arcsin x(обл опред-я ф-и яв отрез[-1,1],множ-м знач-й-отрез[-π/2, π/2];б)y=arcos x(определена на[-1,1],мн-во знач-й-[0,π];в)y=arctgx(опред люб x€R,м-во знач-й[-π/2, π/2](рис18)

9 )беск числ послед-ть-есл кажд числуNпо нек правилу поставлено в соотв-и1определен действ число xn,то мн-во занумерован-х действ чисел(x1,x2..);Монотон посл-ть:возрастающ(х1<x2<x3..),убывающ(x1>x2>x3..),неубыв(x1≤x2≤..),невозраст(х₁≥х₂≥_…);Убывающ и возр наз строго монотон.Ограничен послед-ти:ограничен сверху(есл сущ числМтак,чтох_n≤М д/люб n;огранич сниз,есл сущ числМтак,чтох_n≥Мд/люб n;ограничен,есл она ограничен сверх и сниз;число а назПред числ послед-ти {xn},есл д/люб полож числа ε можн указать так номер N,что при n>N все эл xn,эт послед-ти удовлет-ют нер-ву|xn-α|<ε.(опред α=lim _х→n xn: Āε>0 ENĀn>N|xn|-a<ε;геом яз-|xn-a|ε-ε<xn-a<ε,a-ε<xn<a+ε(рис19)эт нер-во опред-т на числ оси ε отр т.а(Uε(a)),lim _х→n xn=aĀUε(a)En,xn€Uε(a);б.б посл-ть-наз,есл 1)lim_x→ωxn=+ω:Āx EN Vn>N,xn>x(рис20)Начиная с нек.ном все числа xn будутна беск.промеж-ке(x,+ω),2)lim_n→ωxn=-ω Ā XEN Ān>N xn<X (рис21)n>N –ω<x<X;3)lim_x→ωxn=ω:Āx>0 EN,Ān>N,|xn|>X (рис22)вне отрез [-x,x];Число е(матем конст,основан нат лог=2,7182)-Т.Всяк монотон и огранич послед-ть имеет послед-ть.Сущ lim_n→ωxn<=>{1){xn}-монот(возр/убыв),2)ограничен}Используем эт т. д/док-ва того,что сущ lim_x→n xn,где xn=(1+1/n)^n;1)xn-возраст(кажд след посл-ть>предыдущ) х_n+1=(1+1/(n+1))^n+1>(1+1/n)^n=xn;2)xn-ограничен(2<xn<3)Ān—из 1 и2 след что сущ lim_n→ω(1+1/n)^n=e;logex=lnx;

10).Пред ф-и-числ Аназ п.ф.f{x}при х стремящ к a(числ),есл д/люб полож числаε найдетс полож числδтакое,чт д/всех х,отличающихся от а поабсол вел<чем наδ,соответ-ие знач-я ф-и отлич-ся по абс вел отА<,чем наδ(А=lim_x→af(x):Āε>0 Eε>0 Āx 0<|x-a|<δ |f(x)-A|<ε)на геом яз-нер-во |x-a|<δ опред-ет на оси Ox_δ(a).Нер-во |f(x)-A|<ε опред-етна оси Oy U U_ε(A).Поэтом,A=lim_x→af(x),еслĀu_ε(A)EU_δ(α) Āx€ u_δ(α) _(a)-a f(x) u(A). Это пред распростр-ет понятие предела и на случаи,когдАили а-симы +ω,-ω,ω;Cв-ва пред ф-и-1)единств-ть пред ф-и.док-во:Док-м св-во метод от противн.Пусть сущ 2 пред lim_x→af(x)=A1, lim_x→af(x)=A2,A=/A2.Рассмотрим непересек-ся,т.е.не имеющ общ т.u(A1),u(A2)(рис23)Т.к.A1=lim_x→af(x),то E u1(α)Āx€u1(α) f(x)€u1(A1).A2=lim_x→af(x)Eu2(α) Āx€u2(α),f(x)€u2(A2).Обозначим u(α)=u1(α)∩u2(α)-мн-во т.,кот€ как,u1(α),так и u2(α).u(α)Єu1(α),поэтом Āx€u(α) f(x)€u(A1);u(α)Єu2(α),поэтом Āx€u(α) f(x)€u(A2);получили противореч:одни и те же знач-яf(x)находятся в двух непересек окрест-ях=>A1=/A2-неверн.2)Есл ф-я имеет пред при x->a,то сущ u(α)в кот ф-я ограничена(огранич на мн-веХ снизу(сверху)ф-я-если сущ числоM(m)так,что f(x)<=M(f(x)>=m),Āx€X);3)Устойч-ть знаков(Есл lim_x→af(x)=/0(><0),то сущ u(α),в кот ф-я сохраняет зн своего пред;5)Переход в пред в нер-ах.Пусть ф-и f(x)иg(x) определены в u(a) и вып-ся нер-ва f(x)<=g(x) Āx€u(α).Сущlim_x→af(x)иlim_x→ag(x).Тогда lim_x→af(x)<=lim_x→ag(x);

11).Б.м.ф-и-ф-я a(x) ghb x->a(числ,симв),есл lim_x→aα(x)=0,т.е.Āε>0 Eδ>0 Āx 0<|x-α|<δ,|α(x)|<ε.Т.1.lim_x→af(x)= Aα(x)=f(x)-A-беск м.ф-я при x->α.Док-во: lim_x→af(x)=A Āε>0 Eδ>0 Āx 0<|x-a|<δ,|f(x)-A-это α(x)|<ε,т.е lim_x→af(x)=А lim_x→aα(x)=0,Т.2:Пусть α(x)иβ(x)-б.м.ф-и при x->α.Тогда [α(x)+-β(x)]-б.м.ф-я при х->α,Док-во:ВозьмемĀε>0 и зафикс-ем. lim_x→af(x)=Ад/ε>0 Eu1(α), Āx€u1(α)-α|α(x)|<ε/2(1);lim_x→aβ(x)= 0д/ε>0 Eu2(α)-α, Āx€u2(α)|β(x)|<ε/2(2);Возьмем u(α)=u1(α)∩u2(α). Āx€u(α)вып-ся нер-ва (1)и (2),поэтом |α(x)+β(x)|<=|α(x)|+|β(x)|<ε/2+ε/2=ε.Мы взялиĀx>0 и указали u(α) Āx€u(α)-α |α(x)+β(x)|<ε.Эт означает,что lim_x→a[α(x)+β(x)|=0. Cлед-ие:Сум конечн числа б.м.ф-й при х->α есть б.м.ф-я при х->α.Действ-но,если а1(x),a2(x),..an(x) беск.м.ф-и при x->a,то по т.2 β1(x)= β2(x)+α3(x) б.м.ф. при x->α и т.д.Т.3:Есл a(x) б.м.ф. при x->a,то 1/α(х) б.м.ф.при х->a.Док-во:ĀY>0.lim_x→aα(x)=0 д/ε=1/Y E u(α) Āx€u(α)-α|α(x)|<ε (1).|α(x)|<ε|1/α(x)|>1/ε=Y ĀY>0 Eu(α) Āx€u(α)-α, |1/α(x)|>Y lim_x→a1/α(x)=∞;Т.4:пусть а(х) б.м.ф. при х->a.Тогда f(x)·a(x)б.м.ф. при х->a;Т.5:Пусть a(x) б.м.ф. при х->a, lim_x→a Z(x)=b=/0,Тогда lim_x→a α(x)/Z(x); Т.об арифм операц над ф-ми имеющ пред-Пусть в u(a) определены ф-и f(x),g(x),сущ lim_x→af(x)=А, lim_x→af(x)=В(а-число,симв).Тогда сущ следующ пред,и вып-ся рав-ва:1) lim_x→a[f(x)+-g(x)]=А+-B(по т1 о б.м.ф lim_x→af(x)=А=>f(x)= A+α(x),где α(х)->0 при х->a, lim_x→ag(x)=B=>g(x)=B+β(x),где β(х)->0 при х->a;f(x)+g(x)={A+B-число}+{α(x)+β(x)-->0/при/ x->a}.По т1 о б.м.ф-ях lim_x→a[f(x)+-g(x)]=А+-B.Утверждения т.справедлвы незав-мо от того,А,В-числ или симв,лишь бы выраж-я,стоящ в правых частях соответствующ рав-в имели смысл.Напр,пустьА-число,В=+∞:1)lim_x→a[f(x)+-g(x)]=+∞, lim_{x→a [}f(x)+-g(x)]=-∞;2) lim_x→af(x)·g(x)={+∞,A>0;-∞,A<0};3)lim_x→af(x)/ g(x)=0.След-е:Есл С-постоян,то lim_x→af(x)*C=C*lim_x→af(x).Пос- тоянн множ-ль можн выносить за знак пред.2)lim_x→af(x)*g(x)= =А*B;3)Есл B=/0,то lim_x→af(x)/g(x)=А/B;1й зам пред-f(x)=sinx/x (есл x->0, то получаем lim_x→0sinx/x(неопр-ть 0/0).оказ-ся что lim_x→0sinx/x=1.Док-во: (рис24) lim_x→0x/sinx=1;sinx<x< <tgx; д/x>0,x<pi/2;SΔOAB<SΔAOB<SΔOCB;h=sinx,SΔAOB=1/2*1*sinx<1/2*1*x<1/2*1*tgx;sinx<x<tgx|:sinx;д/этих x,sinx>0(0;pi/2);1<x/sinx<1/cosxcosx<sinx/x<1;Нер-во справедливо и д/pi/2<x<pi,cos(-x)=cosx.sinx/x=sin(-x)/(-x)=-sinx/-x(справедл д/всех х).По т.(ф-я sinx/x закл-на м/у 2ф-ми cosx и 1б lim_x→0сosx=0), lim_x→0sinx/x=1. lim_x→0sinα(x)/α(x)=1(и наоб и с tg,+наоб);2замеч пред- lim_x→∞(1+1/x)^x=e(1^∞-неопред-ть), lim_x→∞(1+1/α(x))^α(x)=e, lim_x→0(1+β)^1/β(x)=e;Cравн-е б.м.ф.-Пустьα(х),β(х)-б.м.ф.,при x->a.В основу срав-я кладется изуч-е пред относ-но эт ф-й.Опр:1)Еслlim_x→aα(x)/β(х)=0,то б.м.α(x) наз-ся б.м.более выс порядк,чемβ(х),при х->a(α(x) есть оβ(х));2)Еслlim_x→aα(x)/β(х)=k(k=/0,=/∞),то α(х),β(х) наз-ся б.м.ф-ми одн пор-ка при х->a;3)Еслlim_x→aα(x)/βⁿ(х)= k(k=/0,=/∞),тоα(х)-б.м.ф. n-го пор-ка отн-ноβ(х);4)Есл lim_x→aα(x)/β(х)=1,тоβ(х),α(х)наз-ся эквивал б.м.ф-ми при х->a(α(x)~β(x) при x->a;Непрерыв-ть ф-й-1)ф.f(x)наз-ся непр при х=α,есл вып-ся усл-е lim_x→af(x)=f(α).Т.к.α=lim_x→af(x),то эт усл-е можн перепис в виде lim_x→af(x)= f(lim_x→ax),т.е.д/непрерыв ф-и симв пред и ф-и можн мен местами;Фf(x)наз непрерыв,есл беск малому приращ аргум соответст б.м.приращ ф-и: lim_Δx→0Δy=0.Пусть ф-я задан в прав полуокр т.а.Еслlim_x→af(x)= f(a) (а>0),то ф.непрерывн в т.а справа.Еслlim_x→af(x)=f(a) (а<0),то ф.непрер в т.а слев.Ф-я непрер при х=а,есл она непрер сл и справ;Т.α наз т.разр ф-и f(x),есл в эт т.наруш-ся усл-е непрер-ти(lim_x→af(x)=f(α)),1)Т.x=α наз т.устранимого разр ф-и,есл сущ конечнlim_x→af(x)=А,но в т. А ф-я илине опред-на,илиf(x)=/lim_x→af(x);2)Т.х=а–разр1рода,еслlim_x→af(x) не сущ,но сущ конечн пред ф-и справ и сл,но f(x)≠f(a);3)Т.х=а –разр2рода,есл хотя бы1из одностор-х пред в эт т.=∞или не сущ;Св-ва непрер ф-й в т.-Пустьf(x),g(x)при х=а непрер: 1)f(x)±g(x),f(x)*g(x),f(x)/g(x) (g(x)≠0)–непрер-ы при х=а.Св-ва следуют из теоремы об арифм опер-ях над ф-ми,имеющ пред.2) Есл ф-я непрер в т.а,то сущ окр-ть,в кот эт ф-я ограничена; 3)Есл ф-я непрер в т.а, то сущ окр-ть,в кот ф-я сохр-ет знак; 4)Непрер-ть слож ф-и.Пусть у=f(U)непр-на при U=U_0. А U=φ(x) непр-на при х=а,притом φ(а)= U_0, тогд слож ф-я у=f[φ(x)] непрер при х=а.