bilet_10(2)

Примеры

1. Найти циркуляцию векторного поля A = x³i-y³j вдоль первой

четверги окружности г = R- cos t i + R ■ sin t j .

Решение. На окружности x = r ■ cost, у = R ■ sin t .

Вектор А на этой окружности запишется как

А = Л³ -cos³/ I-R* -sin³/ /.

Найдем dr = -R- sin Ли i +R- cos tdt j, а затем

Л • dr = -Л⁴ ■ cos³ / • sin fcfr -R⁴ ■ sin³ / • cos tdt = -Л⁴ ■ sin/ ■ cos tdt = — Л⁴ ■ sin 2Л&

2

т. е. равносильно утверждению

(7.11)

Функция U(x,y,z) называется потенциалом поля .

Теорема (без доказательства). Для того чтобы векторное поле ,

заданное в односвязной области V было потенциальным, необходимо и достаточно выполнение одного из следующих условий:

1 ° или rot =θ

(такое поле называется безвихревым).

2°. Циркуляция поля вдоль любого замкнутого контура Г в области

V равна нулю, т. е.

2. Вычислить циркуляцию вектора /i = 2дг-г/ -yj + zk вдоль контура треугольника АВСА, образованного пересечением плоскости x+v + 2z = 2 с плоскостями координат.

единичный

нормальный

Решение. В качестве поверхности (S) возьмем плоскость треугольника ABC. Согласно заданному обходу контура (рис. 104) возьмем

вектор плоскости

3°. Циркуляция вдоль любой кривой АВ в области V не зависит от формы кривой, а только от точек А и В.

Пример. Доказать, что векторное поле (y + z)-i + (x + z)-j + (х + у)-к = А потенциально и найти его потенциал.

Решение

\lL( )~Л-( -)]^т I^д (, )-^д

Так как rotA=~'

rot A = 2xj .

По формуле Стокса

Рис. 104

Н Эх

то поле А является потенциальным.

Потенциал векторного поля найдем по формуле U = jpdx + Qdy + Rdz,

где M_Q - некоторая фиксированная точка, М (x,y,z) — любая точка в области V.

За фиксированную точку Мо возьмем начало координат (рис. 105).

<S = _|Ш ■ dS = \\xdxdy= -.

rot An

is)

§4. Потенциальное поле

Векторное поле называется

потенциальным, если существует такая скалярная функция U(x,y,z), что во всех точках области V, где задано поле, выполняется равенство

gradU=. (7.I0)

255