7

Билет №7

1.Функция f(x;y) называется однородной измерения n относительно x и y, если при любом t выполняется равенство f(tx;ty) = tⁿf(x;y)

Уравнение P(x;y)dx + Q(x;y)dy=0 (1) называется уравнением с однородными функциями, если P(x;y) и Q(x;y) – однородные относительно x и y функции одного измерения.

Уравнение с однородными функциями может быть приведено к виду

Пусть P(x;y) и Q(x;y) однородные функции измерения n, т.е.

P (tx;ty) = tⁿ P(x;y)

Q (tx;ty) = tⁿ Q (x;y)

Умножим обе части уравнения (1) на tⁿ

tⁿ P(x;y)dx + tⁿ Q(x;y)dy=0

или P(tx;ty)dx + Q(tx;ty)dy=0

обозначим

P(1;)dx + Q(1;)dy=0

Перепишем это уравнение в форме, разрешенной относительно производной

Правая часть уравнения есть функция отношения , т.е. мы пришли к уравнению вида

Уравнение с однородными функциями решают при помощи подстановки

U = (2)

Которая преобразует уравнение в уравнение с разделяющимися переменными относительно новой искомой функции u(x).

Из равенства (2) найдем y=ux, y’=u’x + u и подставим в уравнение Получим u’x + u = f(u)

U’ =

xdu + (u – f(u)) = 0

+ = 0

+ ln = ln

Обозначим

- = Ф(u)

Ф(u) = ln| |

| | =

x = C ( C = )

Общий интеграл примет вид

x = C

2 Векторное поле

Если в каждой точке M(x;y;z) области V определен вектор (М), то говорят, что в области V определено векторное поле.

Введем в области V, где задано векторное поле, прямоугольную систему координат.

Тогда вектор А(М) можно предствить в виде

А(М) = P(x;y;z)i + Q(x;y;z)j + R(x;y;z)k, где P(x;y;z), Q(x;y;z), R(x;y;z) есть проекции вектора А(М) на оси координат.

Таким образом, векторное поле определяется заданием одной векторной функции А(М)=А(x;y;z) или заданием трех скалярных функций-координат этого вектора.

Поток векторного поля.

Пусть в области V задано векторное поле

А= P(x;y;z)i + Q(x;y;z)j + R(x;y;z)k,

(S) – двусторонняя поверхность в области V. Фиксирована сторона поверхности, т.е. указано направление нормали в какой-либо точке.

Поверхностных интеграл второго рода называется потоком веторного поля А(x;y;z) через поверхность (S) в направлении нормали n. Будем его обозначать П.

Запишем поток векторного поля в виде поверхностного интеграла первого рода П=

cosα, cosβ, cosγ – это направляющие косинусы нормали n к фиксированной стороне поверхности или координаты орта нормали n⁰ , т.е. n⁰ Поэтому = А n⁰ – скалярное произведение векторов А и n/

Обозначим

А n⁰ = А_n

П=