7-8

Вопрос 7.Свойства определённого интеграла.

1. Пусть функции f(x) и g(x) интегрируемы на отрезке [a,b]. Тогда функции f(x) ± g(x) также интегрируемы на отрезке [a,b], причем:

= + .

2. Если функция f(x) интегрируема на [a,b], то функция c·f(x), (c=const) интегрируема на этом отрезке, причем:

= c·.

3. Пусть функция f(x)интегрируема на отрезках [a,c] и [c,b], a<c<b. Тогда функция интегрируема на отрезке [a,b], причем:

= + .

4. Пусть функции f(x) и φ(x) интегрируемы на отрезке [a,b] и удовлетворяют условию f(x) ≤ φ(x). Тогда:

≤ .

5. Пусть m – наименьшее, а М – наибольшее значения функции f(x) на отрезке [a,b]. Тогда:

m(b-a) ≤ ≤ M(b-a).

6. Теорема о среднем Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b]. Тогда на этом отрезке найдётся точка c, такая , что справедливо равенство:

= f(c) ·(b-a).

Доказательство:Пусть m ,M – наименьшее и наибольшее значения f(x) на отрезке [a,b], существующие по 1ой теореме Вейерштрасса.

По свойству 5) m ≤ ≤ M

Обозначим = µ.

Так как f(x) непрерывна на [a,b], то по 2ой теореме Больцано-Коши, она принимает промежуточное значение µ в некоторой точке C отрезка [a,b], такое, что

µ = f(c), т.е. f(c) = или = f(c) · (b-a).

Рис.5

Если f(x) ≥ 0 на отрезке [a,b], то рис.5 = , площадь криволинейной трапеции aABb равна площади прямоугольника ab с тем же основанием и с некоторой средней ординатой f(c) в качестве высоты.

Вопрос 8.Определенный интеграл с переменным верхним пределом.Пусть функция f(t) интегрируема на отрезке [a,b]. Возьмем x [a,b]. По свойству интегрируема и на отрезке [a,х]. Подсчитаем . Это будет некоторое число, равное площади криволинейной трапеции aAXx (рис.6).

Рис.6

Таким образом x [a,b] ставится в соответствие число , которую называют определённым интегралом с переменным верхним пределом.

Теорема. Пусть функция f(t)непрерывна на отрезке [a,b]. Тогда функция F(x) имеет производную в каждой точке x [a,b], причем

= (2.8)

Доказательство. Дадим аргументу приращение и подсчитаем приращение функции .

=F(x+)- F(x)= .

По свойству.

По теореме о среднем (свойство ) найдется точка с [x; x+], такая что

=

Составим разностное отношение

Тогда = = = = f(x) в силу непрерывности f(x) на [a,b].

Таким образом, мы доказали утверждение, сформулированное в главе 1 о том, что для непрерывной на отрезке [a,b] функции f(x) всегда существует первообразная; примером её является определённый интеграл с переменным верхним пределом F(x)=.

Формула Ньютона-Лейбница.Теорема. Пусть Ф(х) – какая-либо первообразная для непрерывной функции f(x) на отрезке [a,b]. Тогда справедлива формула:

= Ф(b) – Ф(a) = Ф(x). (2.9)

ДоказательствоДля непрерывной на отрезке [a,b] функции f(x) интеграл F(x) = является первообразной функцией. Зная, что разность между двумя первообразными равно постоянному числу. Т.е. F(x) – Ф(x) = C. Чтобы определить C, положим здесь x = a и учтем, что F(a) = 0. Тогда 0 – Ф(а) = С или С = -Ф(а). При х = b получим F(b) = = Ф(b) – Ф(a).Формулу (2.9) называют формулой Ньютона-Лейбница. Она устанавливает, что значение определенного интеграла равно разности двух значений любой первообразной функции – значению в верхнем пределе интеграла и значению в нижнем пределе интеграла.