8

Вопрос 8.

Теорема: Множество реш-й сис-мы лин. ур-й и нер-в есть выпуклое множ-во.

Док-во. 1. Докажем, что множ. реш-й лин. ур-я с n-неизв. есть выпукл. множ-во. Заменим лин. ур-е в виде век.аХ=а₀ (5). век.а – коэф-ты при неизв., в.а=(а₁,а₂,…а_n), в.Х=(х₁,х₂,…х_n), а₀ – число. Пусть вектор А и в. В – решение ур-я (5). Это означает, что век. аА= а₀ и век. аВ= а₀.

Возьмем любую точку С, принадлеж. отрезку АВ: для нее можно записать век.с=в.tB+(1-t)в.А. Проверим, будет ли точка С решением ур-я (5): в. аС= в.a[в.tB+(1-t) в.А]=в.аtB+в.a(1-t)в.А=tв.аВ+в.аА-tв.аА=tа₀+ а₀-t а₀= а₀,  т.С лежит внутри отрезка АВ. Т.к. мы взяли любую точку С, то значит и любая точка АВ внутри отрезка. Множ. реш-ий (5) явл. выпуклым множеством.

2. Аналогично доказывается, что множество реш-ий одного лин. нер-ва есть выпуклое множ-во.

3. Область совместных реш-ий сис-мы лин. неравенств есть выпуклое множество. Эта область есть пересечение конечн. числа гиперплоскостей и полупространств (по т. «пересечен. выпукл. множ. есть выпукл. множ»)

Следствие: ОДР ЗЛП есть выпуклое множ-во. Выпуклое множество являющ. пересечением конечного числа полупространств, явл. выпукл. многогранником.