6

Вопрос 6.

a_i1x₁+a_i2x₂=b_i – прямая в простр-ве R²

a_i1x₁+a_i2x₂+a_i3x₃=b_i – плоскость в простр-ве R³

a_i1x₁+a_i2x₂+…+a_inx_n=b_i – в простр-ве Rⁿ

Множ-во точек А(x_1…x_n) Rⁿ, кот. явл. реш-ями этого ур-я, наз. гиперплоскостью.

a_i1x₁+a_i2x₂≤b_i – полуплоскость по одну сторону от граничной прямой

a_i1x₁+a_i2x₂+a_i3x₃≤b_i – полупространство, располож. по одну сторону от граничной плоскости

a_i1x₁+a_i2x₂+…+a_inx_n=b_i – полупространство, располож. по одну сторону от граничной гиперплоскости.

A,Bm,Надо: составить уравнение отрезка АВ.

Хm.

ВекторАВ и векАХ коллинеарны, т.е. сущ. такое число t, что век.АХ=век.tАВ. Введем радиус-векторы ОА, ОВ, ОХ. Обозначим век. ОА=век.А, век. ОВ=в.В, в.ОХ=в.Х.

в.А+в.АВ=в.В; в.АВ=в.В-в.А

в.А+в.АХ=в.Х; в.АХ=в.Х-в.А.

Подставим то, что получили в в.АХ=в.tАВ.

в.Х-в.А=t(в.В-в.А); в.Х-в.А=tв.В- tв.А; в.Х= tв.В-в.А(1-t) (4)

Для любого t из R: ур-е (4) определяет m. При t=0 получаем т.А на прямой m. При t=1 получаем т.В на прямой m. При t(0;1) – внутр. точки отрезка АВ.

Таким образом, ур-е (4) определяет отрезок АВ тогда, когда t изметяется от 0 до 1.

Множество точек Х из пространства Rⁿ такие, что выполняется ур-е в.Х= tв.В-в.А(1-t), наз. отрезком АВ пространства Rⁿ.

Множество М такое, что если т.АМ, ВМ, следоват. отрезок АВМ, то такое множ-во наз. выпуклым (если вместе с т.А и В оно содержит все точки отрезка АВ).