9

Билет 9. Угловые точки выпуклого множества. Выпуклые многогранники.

Во всяком выпуклом множестве можно выделить: внутренние, граничные, угловые точки.

М - выпуклое множество. Точка А, принадлежащая вып. множеству М – внутренняя точка, если существует окрестность это точки такая, что все точки этой окружности принадлежат множеству М.

В – граничная точка, если любая окрестность этой точки В содержит как точки, принадлежащие множеству М, так и точки, не принадлежащие множеству М. Совокупность всех граничных точек – граница множества.

S – угловая точка выпуклого множества М, если она не является внутренней ни для какого отрезка, соединяющего две другие точки множества М.

Выпуклое множество являющееся пересечением конечного числа полупространств называется выпуклым многогранником. (Например круг)

Всякий выпуклый многоугольник есть выпуклый многогранник, так как это пересечение конечного числа полуплоскостей.

Так как полупространства определяются линейными неравенствами, то можно сказать, что выпуклый многогранник – это множество, которое задается конечными системами линейных неравенств.

Таким образом, ограничение ЗЛП в виде линейных неравенств (1) при условии неотрицательности (2) определяют n-мерный вып. многогранник, т.к. все неравенства нестрогие, то эти множества содержат точки, лежащие на граничных гиперплоскостях, т.е. множество замкнутое.

При решении n-мерной задачи ЛП удобно использовать каноническую форму записи.

Т.к. систему лин. неравенств (1) можно заменить эквивалентной ей системой лин. ур-ний, то приходим к выводу, что ОДР n-мерной задачи ЛП является n-мерным выпуклым многогранником, поэтому геометрически задачи ЛП есть задача отыскания max (min) линейной функции на выпуклом многограннике.