17. Закон распределения вероятностей, используемые в математической статистике: хи-квадрат, Стьюдента, Фишера.

χ² – распределение (распределение Пирсона)

Распределение χ² с k – степенями свободы называется суммой квадратов k независимых СВ, распределенных по стандартному нормальному закону: _k

χ² = Σ Z_i ² Z_i - СВ, имеющее нормальное распределение Z_i (i = 1,2,3, …k) N = 0,1

^{i = 1}

χ² распределение -ассиметрично, обладает правосторонней положительной ассиметрией, при k=30 приблизительно равен k нормального закона распределения.

t – распределение (распределение Стьюдента) – распределение СВ t вида:

t= Z√1/k χ² где Z – случайная величина распределения по стандартному нормальному закону.ж

χ² – независима от Z СВ, имеющая χ² распределение с k – степенями свободы.

кривые t-распределения симметричны относительно оси ординат и по сравнению с нормальной кривой более пологие.

При k→∞, t- распределение больше k нормального распределения.

Мt = 0

Dt = k/(k-2), k>2

Распределение Фишера-Снедекора.

F-распределение – распределение вида:

F = 1/k₁ χ² (k₁) / 1/k₂ χ² (k₂)

χ² (k₁), χ² (k₂) – независимые СВ, имеющие χ² распределение с k₁,k₂ степенями свободы. При увеличении k F-распределение приблизительно равно k нормального распределения.

18. Закон распределения двумерной случайной величины, закон распределения составляющих, условный закон распределения непрерывной двумерной случайной величины, ковариация и коэффициент корреляции дискретной двумерной случайной величины.

Часто результата испытания характеризуется не одной СВ, а целой системой СВ, кот. называется n-мерной случайной величиной или n- мерным вектором.

Пример:

1) Успеваемость ученика

2) Погода в данное время в данном месте.

В теоретеко-множественной трактовке любая случайная величина X_i(i=1,2,…n) есть функция элементарных событий ω, входящих в пространство элементарных событий Ω (ωΩ).

Поэтому и многомерная случайная величина есть функция элементарных событий ω, т.е. каждому элементарному событию ставится в соответствие несколько действительных чисел х₁,х₂,…x_n , которые приняли случайные величины Х₁,Х₂, …Х_n в результате испытания. В этом случае вектор х=(х₁,х₂,…х_n) называется реализацией случайного вектора Х= (Х₁,Х₂, …Х_n).

Случайные величины, входящие в систему могут быть как дискретными, так и непрерывными.

Геометрически 2-мерную (Х;У) и 3-мерную (X;Y;Z) – СВ, можно изобразить случайной точкой или вектором на плоскости Оху или в пространстве Охуz.

При этом СВ X;Y;Z называются составляющими этих векторов.

В случае n >3 также говорят о векторах, но геометрически это не столь наглядно.

Наиболее полным описание многомерной случайной величины является ее закон распределения.

Он может быть представлен в виде таблицы, при конечном множестве значений, которая содержит всевозможные сочетания значений каждой из одномерных СВ, входящим в систему, и соответствующих им вероятностям.

Так, если рассматривается двумерная дискретная случайная величина, то ее двумерное распределение можно представить в виде таблицы распределения, в каждой клетке (i, j) которой располагаются вероятности произведения событий p_ij = [(X = x_i)(Y = y_j)]

	yi		yj		ym	Σ
x1	p11		p1j		p1m	p1
xi	pi1		pij		pim	pi
xn	pn1		pnj		pnm	pn
Σ	p1		pj		pm	1

Чтобы по таблице распределения найти вероятность того, что одномерная случайная величина примет определенное значение, надо просуммировать вероятности p_ij из соответствующей этому значению строки (столбца) данной таблицы.

Если зафиксировать значение одного из аргументов, например, положить Y= y_j , то полученное распределение случайной величины Х называется условным распределением Х, при условии, Y= y_j. Вероятности p_j(х_i) этого распределения будут условными вероятностями события Х=х_i , найденными в предположении, что событие Y= y_j произошло.

Аналогично условное распределение случайной величины Y при условии, что Х=х_i задается с помощью условных вероятностей

Ковариацией случайных величин Х иY называется математическое ожидание произведения отклонений этих величин от своих математических ожиданий, т.е.

, или

, где ,

Из определение следует, что=

Кроме того, т.е. ковариация случайной величины с самой собой есть ее дисперсия.

Для дискретных случайных величин:

Ковариация двух случайных величин характеризует степень зависимости случайных величин, так и их рассеяние вокруг точки (а_х,а_у).

Свойства ковариации:

1. Ковариация двух независимых случайных величин равна нулю.

2. Ковариация двух случайных величин равна математическому ожиданию их произведение математических ожиданий, т.е.

3. Двухмерная случайная величина по абсолютной случайной величине не превосходит их среднеквадратических отклонений.

Замечание: Ковариация является величиной размерной. Ее размерность определяется произведением размерностей случайных величин. Это затрудняет использование ковариации для оценки степени зависимости различных случайных величин, потому используется коэффициент корреляции.

Коэффициент корреляции – отношение ковариации двухмерной случайной величины к произведению среднеквадратических отклонений (величина безразмерная)

Свойства корреляции:

1)

2) Если СВ независима, то

СВ называют некоррелированными, если их коэффициент корреляции равен нулю.

СВ – независимые, след., некоррелированные, но не наоборот.

Если , то между СВ существует линейная функциональная зависимость.