3. Классическое определение вероятности

Пусть события

A1, A2,... ,An  S

(*)

образуют множество элементарных событии. Тогда события из (*), которые приводят к наступлению события А, называются благоприятствующими исходами для события А, т(А) - число благоприятствующих исходов.

Вероятностью события А называется отношение числа исходов благоприятствующих наступлению события А к числу всех возможных исходов:

Из классического определения следуют свойства вероятности:

1. 0  P(A)  1;

2. P()=1;

3. P()=0.

A + A = Q - достоверное событие, поэтому

Р(А) + Р(A) = 1 или Р(A) = 1 - Р(А).

Статистическое определение вероятности

Пусть проводится серия опытов (n раз), в результате которой наступает или не наступает некоторое событие А (m раз), тогда отношение m/n, при n →  называется статистической вероятностью события А. Вероятностью события называется число, около которого группируются значения частоты данного события в различных сериях большого числа испытаний. В случае статистического опред вероятность облад след св-ми: 1) вероятность достоверного события = 1, 2) вероятно невозможного соб = 0 3) вероятн случ соб заключ между 0 и1. 4) вероятн суммы двух несовместных соб = сумме вероятностей этих соб.

1. Опыт с равновероятностными исходами. Вероятность и частота. Некоторые комбинаторные формулы. Опыт-это всякое осуществление определенного комплекса условий или действий, при которых происходит соответствующее событие. События считают равновозможными, если нет оснований полагать, что одно событие является более возможным, чем другие. Например: при подбрасывание монеты событие А и соб Б равновозможны. Частота-случайная числовая характеристика. Это отношение числа опытов, в которых появилось это событие, к числу всех произведенных опытов. Частота соб. (W(A)). Св-ва частоты:1) частота случ событий есть число, заключенное между 0 и1. 0<W(A)<1 2)частота достоверного события W(U)=1 3)Частота невозможного события W(V)=0 4)Частота суммы двух несовместных событий A и B равна сумме частот этих событий: W(A+B)=W(A) + W(B). Вероятностью события называется число, около которого группируются значения частоты данного события в различных сериях большого числа испытаний. Некоторые комбинаторные формулы. Комбинаторика изучает СП-бы подсчета числа элементов в конечных множествах. Ф-лы прим при вычисл вероятности. Множества эл-ов состоящие и одних и тех же различн эл-ов и отличающиеся друг от друга только их порядком, называются перестановками этих эл-ов. Размещениями называют множества, составленные из n различных элементоы по m эл-ов, которые отличаются либо составом эл-ов, либо их порядком.

Сочетаниями из n различн эл-ов по m называют множ-ва, содержащие m эл-ов из числа n заданных, и которые отлич хотя бы одним эл-ом. Справедливы тождества:

3. Классическое определение вероятности

Пусть события

A1, A2,... ,An  S

(*)

образуют множество элементарных событии. Тогда события из (*), которые приводят к наступлению события А, называются благоприятствующими исходами для события А, т(А) - число благоприятствующих исходов.

Вероятностью события А называется отношение числа исходов благоприятствующих наступлению события А к числу всех возможных исходов:

Из классического определения следуют свойства вероятности:

4. 0  P(A)  1;

5. P()=1;

6. P()=0.

A + A = Q - достоверное событие, поэтому

Р(А) + Р(A) = 1 или Р(A) = 1 - Р(А).

Статистическое определение вероятности

Пусть проводится серия опытов (n раз), в результате которой наступает или не наступает некоторое событие А (m раз), тогда отношение m/n, при n →  называется статистической вероятностью события А. Вероятностью события называется число, около которого группируются значения частоты данного события в различных сериях большого числа испытаний. В случае статистического опред вероятность облад след св-ми: 1) вероятность достоверного события = 1, 2) вероятно невозможного соб = 0 3) вероятн случ соб заключ между 0 и1. 4) вероятн суммы двух несовместных соб = сумме вероятностей этих соб.

4. Аксиомотическое определение вероятности по Колмогорову. Св-ва вероятности. Св-ва вероятности для полн группы событий. Аксиоматическое определение вероятности Вероятность события - это численная мера объективной возможности его появления.Аксиомы вероятности:

1. Каждому событию А ставится в соответствие неотрицательное число р, которое называется вероятностью события А:

Р(А) = р  0,где А  S, S  .

2. Если события А₁, А₂,..., А_n несовместны, то верно равенство:

P(А₁ + А₂ + ... + А_n) = Р(А₁) + Р(А₂) + ... + Р(А_n),

где А_i  S (i = l, 2,..., n), S  .

3. P()=1,

где  - истинное (достоверное) событие.

Пространство элементарных событий W заданной в нем алгеброй S (или  - алгеброй) и определенной на S вероятностью - неотрицательной мерой Р(А), А  S называется вероятностным пространством и обозначается (, S, P). Вероятностное пространство служит математической моделью любого случайного явления в теории вероятностей.Аксиоматический подход не указывает, как конкретно находить вероятность. Определение 1. Если P(A) = 1, но A не равно Ω, то говорят, что событие A в опыте G происходит почти наверное (п.н.).

Определение 2. Если P(A) = 0, то говорят, что событие A почти никогда не происходит в опыте G.

Свойства P(A): 1) вероятность невозможного соб =0, т.е. P(Ж) = 0 2) если P(A)=1, то отсюда не следует, что соб А явл достоверны.3)если вероятность некоторого события = 0, то событие А не невозможное 4) Если A М B, то P(A) ≤ P(B), т.е. вероятность монотонна 5)каково бы ни было событие А, его вер-ть ≤ 1 5)  P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB) для любых A, B  . Представим A в виде A = A\B + AB. Очевидно, (A\B)(AB) = Ж. Тогда по аксиоме А3: P(A) = P(A\B) + P(AB), откудаP(A\B) = P(A) -P(AB).Аналогичным образом поступим с событием A+B. Имеем A+B = B+A\B, причём B(A\B) = . Тогда из аксиомы А3 следует P(A+B) = P(B) + P(A\B).Подставляя в данное выражение формулу для P(A\B), получаем требуемое выражение.6)   P(A+B) ≤ P(A) + P(B). Из аксиомы А1 следует, что P(AB) ≥ 0, поэтому по свойству 6)P получаем P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB) ≤ P(A) + P(B). Св-ва вероятности для полной группы событий: Определение 1.   События H₁, ..., H_n в опыте G образуют полную группу несовместных событий, если они попарно несовместны (H_iH_j = Ж при i ≠ j) и в результате опыта произойдёт хотя бы одно из событий H_i, i = 1,n, т.е. H₁+ ... + H_n = Ω. При этом события H₁, ..., H_n, имеющие положительные вероятности, называются гипотезами. 1)   Если события H₁, ..., H_n образуют полную группу, то P(H₁)+ ... + P(H_n) = P(H₁+ ... + H_n) = 1.2) для любого А   вероятность Ã P(A) = 1 - P(A).

5.Условная вероятность и ее свойства. Независимость событий. Основные формулы вычисления вероятностей: Для характеристики зависимости одних событий от других вводится понятие условной вероятности. Условной вероятностью события B при условии, что произошло соб А, называется отношение вероятности произведения этих событий к вероятности события А, причем P(A) ≠ 0, обознач символом P(B\A). Таким образом, по опред P(B\A)=P(A*B)/P(A), P(A) ≠0. Вероятность P(B) назыв безусловной вероятн. То же самое для события А при условии B. Условная вероятность удовлетворяет аксиомам Колмогорова: P(B\A)0, очевидно; P(\A)=P(*A)/P(A)=P(A)/P(A)=1; Поэтому для условий вероятности справедливы все следствия из аксиом Колмогорова. 1) вероятность невозможного соб =0, т.е. P(Ж) = 0 2) если P(A)=1, то отсюда не следует, что соб А явл достоверны.3)если вероятность некоторого события = 0, то событие А не невозможное 4) Если A М B, то P(A) ≤ P(B), т.е. вероятность монотонна 5)каково бы ни было событие А, его вер-ть ≤ 1 5)  P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB) для любых A, B  . Представим A в виде A = A\B + AB. Очевидно, (A\B)(AB) = Ж. Тогда по аксиоме А3: P(A) = P(A\B) + P(AB), откудаP(A\B) = P(A) -P(AB).Аналогичным образом поступим с событием A+B. Имеем A+B = B+A\B, причём B(A\B) = . Тогда из аксиомы А3 следует P(A+B) = P(B) + P(A\B).Подставляя в данное выражение формулу для P(A\B), получаем требуемое выражение.6)   P(A+B) ≤ P(A) + P(B). Из аксиомы А1 следует, что P(AB) ≥ 0, поэтому по свойству 6)P получаем P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB) ≤ P(A) + P(B)

Независимость событий Событие А называется независимым от события B, если его условная вероятность равна безусловной, т.е. если выполняется равенство P(A\B)=P(A). Лемма: если соб А не зависит от соб B, то и соб B не зависит от соб A. Два события называются независимыми, если появл 1 из них не меняет вероятность появления другого. Для независимых событий правило умножения принимает вид P(A*B)=P(A)*P(B). События А1,А2,…,Аn называются независимыми, если каждое их них не зависит от произведения любого числа остальных событий и от каждого в отдельности. В противном случае события А1,А2…Аn называются зависимыми. Из попарной независимости соб А1,А2…Аn не следует их независимость в совокупности. Формула умножения вероятностей. Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности 1 из них на условную вероятность другого при условии, что первое соб произошло: P(AB)=P(A)P(B/A), P(AB)=P(B)P(A/B). Соб B не зависит от соб A, если P(B/A)=P(B), т.е. вероятность соб B не зависит от того, произошло ли соб A. Теорема умнож вероятностей 2 независимых событий. Вероятность произведения 2 независимых событий равна произведению их вероятностей: P(AB)=P(A)*P(B) Теорема умнож вероятностей n событий. P(A1A2…An)= P(A1)(A2/A1)P(A3/A1A2)…P(An/A1A2…An-1) Формула сложения вероятностей.Теорема слож вероятностей 2 событий. Вероятность суммы 2 событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) Теорема сложения вероятностей 2 несовместных событий. Вероятность суммы 2 несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: P(A+B)=P(A)+P(B) Теорема сложения вероятностей n несовместнх событий P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…P(An)