12.Интегральная теорема Муавра-Лапласса.

Теорема. Пусть производится n независимых опытов, в каждом из которых вероятность наступления события А одна и та же и равна . Пусть m - число появления события A в n опытах. Тогда для достаточно больших n случайная величина m имеет распределение, близкое к нормальному с параметрами a=M(m)=np, .    Доказательство. Пусть - число наступления события A в i-м опыте. Тогда , (cм. § 4, п. 2, пример 2). Так как может принимать только два значения 0 и 1, то для любого i имеем . Кроме того, величина стремится к бесконечности при . Итак, последовательность случайных величин удовлетворяет условиям следствия из теоремы Ляпунова. Поэтому сумма этих величин достаточно больших n имеет распределение, близкое к нормальному, что и требовалось доказать.    Вычислим вероятность того, что случайная величина m, т. е. число наступлений события А в n опытах, удовлетворяет неравенствам , где x1 и x2 - данные числа. Так как a=M(m)=np, (cм. § 4, п. 2, пример 2). То согласно формуле (32) получим

(57)

   где Ф(х) - интеграл вероятностей.

13.Векторные случайные величины.

Двумерным случайным вектором (или двумерной СВ) называется совокупность случайных величин :

Z

Δ =

col(X,Y),

где X и Y - СВ.

Двумерной случайной величиной называют систему из двух случайных величин , для которой определена вероятность совместного выполнения неравенств и , где x и y - любые действительные числа.    Функция двух переменных

(34)

   определенная для любых x и y, называется функцией распределения системы двух случайных величин

Свойства двумерной случайной величины.

(lk)

-матрицу распределения. геометр интерпретац двумер дискретн вечличи двумер непрерыв..

16. основные задачи математической статистики.Занимается методами обработки опытных данных, полученных в рез-те наблюдения над случайными явлениями. Задачи мат стата:1)указать способы сбора и группировки стат. сведений, полученных в рез-те наблюдения за случ. процессами. 2)Разработка методов анализа стат. Данных в зависимости от цели исследования. Генеральная и выборочная совокупность. Ген совокупность-множество объектов, из которых производится выборка.Выборочная совокупность-сов-ть случайно отобранных объектов из генеральной совокупности. Повторная и бесповторная выборка.Повторная – при которой отобранный объект возвращается в ген совокупность. Бесповторная – при которой отобранный объект не возвращается в ген совокупность.Репрезентативность выборки.Выборка является репрезентативной, когда достаточно полно представлены изучаемые признаки генеральной совокупности.Условием обеспечения репрезентативности выборкия явл, соблюдение случайности отбора, т.е. все обекты ген выборки имеют равную возм попать в выборку. Теоретическая ФР. по определению, F(x)= mх/n, где n - объем выборки, mх - число выборочных значений величины X, меньших х. В отличие от выборочной функции F(x) интегральную функцию F(x) генеральной совокупности называют теоретической дикцией распределения. Главное различие функций F(x) и F(x) состоит в том, что теоретическая функция распределения F(x) определяет вероятность события Х<х, а выборочная функция - относительную частоту этого события. Статистическое распределение выборки. Распред в тоер вероят – соответствие м/у возможными значениями случ. вел-ны и их вероятностями. Распред в мат статист-соответствие м/у наблюдаемыми вариантами и их частотами.Перечень вариантов и соответствующих частот или частостей назыв статистическим распред выборки. Эмпирическая функция распределения называется функция определяющая для каждого значения х частость события {X<x}: =p*{X<x}. Для нахожд значений эмпирической ф-ии удобно записать в виде=Nx/n, n-объем выборки,Nx-число наблюдений, меньших х. Эмпирическая функция распределения явл оценкой вероятности события {X<x},т.е. оценкой теоретической функции распределения F(x) с.в.Х Гистограмма, полигон относительных частот.Гистограммой частот называют ступнчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длины h, а высоты равны отношению Ni/h-Плотность частоты.)площадь гистограммы частот равна объему выборки, а площадь гистограммы частостей равна единице. Полигон относит частот- ломаная, отрезки которой соединяют точки(x_i p* _i;) Статистические оценки параметров распределения (выборочная средняя, групповая, общая среднее, выборочная дисперсия.) Выборочным средним ¯x_в называется среднее арифметическое всех значений выборки: ¯x_в= 1/n∑х_in_{i ;} Групповая средняя – ср. арифметическое значение признака,

_i=1

принадлежащее группе. Общая средняя – ср. арифметическое знач. признака, принадлежащее всей сов-ти. Выборочная дисперсия – ср. арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их ср. значения. .Если данные наблюдений представлены в виде дискретного вариационного ряда, причем x₁, x₂, x₃, ..., x_n - наблюдаемые варианты, a m₁, m₂, m₃, ..., m_v - соответствующие им частоты, то выборочная дисперсия определяется формулой:

Формула для вычисления дисперсии. D_в=х¯²-[х¯]² (ср.арифметический квадрат значений выборки-квадрат общей средней) Док-во:

Двумерные дискретные случайные величина, ее геометрич интерпретация.

Двумерная случайная величина называется дискретной, если и - дискретные величины.    Пусть возможные значения и образуют, например, конечные последовательности x₁, x₂, ..., x_n и y₁, y₂, ..., y_s. Возможные значения двумерной случайной величины имеют вид (x_i, y_j), где i=1, 2, ..., n; j=1, 2, ..., s. Обозначим через p_ij вероятность того, что  

функция распределения и ее свойства.

Функция распределения F(х, у) имеет вид  

   где двойная сумма распространена на те i и j, для которых x_i<x и y_j<y.    Двумерную случайную величину так же, как и одномерную, можно задавать таблицей. Первая строка таблицы содержит возможные значения случайной величины , а первый столбец — возможные значения . В остальных клетках таблицы указаны соответствующие вероятности, причем их сумма всегда равна единице. В качестве примера рассмотрим двумерную случайную величину, заданную следующей таблицей:  

\	-1	0	1
0,1	p11=0,05	p12=0,20	p13=0,30
0,2	p21=0,10	p22=0,20	p23=0,15

   Сумма всех вероятностей  

1)   F(x,y) определена для всех (x,y) О R², так как вероятность P{X ≤ x, Y ≤ y} определена для всех x,y О R¹.

2)   0 ≤ F(x,y) ≤ 1 для всех x,y О R¹. По аксиоме A1 и свойству 5)P для любого события выполняется 0 ≤ P(A) ≤ 1 , поэтому по определению F(x,y) О [0,1].

3)   F(-∞,y) = F(x,-∞) = F(-∞,-∞) = 0 для всех x,y О R¹. Например, рассматривая

Bn

Δ =

{ω : Y(ω) ≤ -n}, где n = 1, 2, ... ,

можно по аналогии с доказательством свойства 3)F(x) установить, что

F(-∞,y) ≤

l i m n→∞

P(Bn) = P( Ж ) = 0.

4)   F_Y(y) = F(+∞,y), F_X(x) = F(x,+∞) для всех x,y О R¹, где F_X(y) и F_Y(x) - функции распределения СВ X и Y соответственно. Это свойство можно установить, следуя доказательству свойства 3)F(x), т.к. {ω : X(ω) ≤ +∞} = {ω : Y(ω) ≤ +∞} = Ω.

5)   F(+∞,+∞) = 1.  В силу свойства 4)F(x,y) имеем

F(+∞,+∞) = FX(+∞)

3)F(x)   =

1.

6)   F(x,y) - монотонно неубывающая по каждому из аргументов. Т.к. для Δx > 0 имеем

F(x+Δx,y)

Δ =

P{X ≤ x+Δx, Y ≤ y}

A3  =

= P{X ≤ x,Y ≤ y} + P{x < X ≤ x + Δx, Y ≤ y},

так как рассматриваемые события несовместны. По аксиоме A1 имеем F(x + Δx,y) ≥ F(x,y). Монотонность F(x,y) по y доказывается аналогично.

7)   Если F(x,y) непрерывна по x и y, то вероятность попадания СВ Z в прямоугольник D = {x₁ ≤ x ≤ x₂, y₁ ≤ y ≤ y₂} равна

P(D)

Δ =

F(x2,y2) + F(x1,y1) - F(x1,y2) - F(x2,y1),

где F(x_i,y_j), (i,j = 1,2) - вероятности попадания СВ Z в квадранты D_ij с соответствующими вершинами (x_i,y_j), i,j = 1,2

   

Матрица распределения.

Двумерная непрерывная случайная величина. ее геометр интерпретация.

Двумерная св (х;у) явл непрерывной, если ее ф-я распределения F(x;y) представляет собой дифференцируемую ф-ю по каждому из аргументов.

Плотность распределения двумерной случайной величины и ее свойства.

Неотрицательная функция f(x,y) называется плотностью распределения (плотностью вероятности) двумерной непрерывной СВ

Z

Δ =

col(X,Y),

если

F(x,y) =

x  ∫ -∞

(

y  ∫ -∞

f(x, y) dy

)

dx = 1.

При этом двумерная СВ Z называется непрерывной.

1)   f(x, y) ≥ 0 для всех x, y О R¹. Это вытекает из определения 1.

2)  

P(D) =

x2   ∫   x1

y2   ∫   y1

f(x, y) dy dx , где

D

Δ =

{x1 ≤ x ≤ x2, y1 ≤ y ≤ y2} .

По свойству 7)F(x,y) и определению 1 имеем

P(D) = F(x2,y2) - F(x2,y1) - F(x1,y2) + F(x1,y1)

Δ =

Δ =

x2   ∫ -∞

y2   ∫ -∞

f(x, y) dy dx -

x2   ∫ -∞

y1   ∫ -∞

f(x, y) dy dx -

x1   ∫ -∞

y2   ∫ -∞

f(x, y) dy dx +

+

x1   ∫ -∞

y1   ∫ -∞

f(x, y) dy dx =

x2   ∫   x1

y2   ∫   y1

f(x, y) dy dx .

3)  

P(D) =

∫ ∫   D

f(x, y) dx dy ,

где D - произвольная область на плоскости R². Доказательство проведем для непрерывной f(x,y). Рассмотрим бесконечно малый прямоугольник

ΔD

Δ =

{x ≤ X ≤ x + Δx, y ≤ Y ≤ y + Δy}.

Согласно свойству 2)f(x,y) можно записать

P(ΔD) =

x+Δx     ∫      x

y+Δy     ∫      y

f(x, y) dx dy =

|

по теореме о среднем значении

|

≈ f(x, y) Δy Δx.

Таким образом, элемент вероятности f(x,y)dxdy с точностью до бесконечно малых высшего порядка равен вероятности попадания двумерной СВ Z = col(X,Y) в бесконечно малый прямоугольник, прилегающий к точке (x,y). Так как  произвольную область D М R² можно представить с любой степенью точности в виде объединения конечного числа непересекающихся бесконечно малых прямоугольников ΔD, то из аксиомы A3 (см. замечание Л3.Р2.З2) следует формула для вероятности попадания СВ (X,Y) в D.

4)  

+∞   ∫ -∞

+∞   ∫ -∞

f(x, y) dy dx = 1,

поскольку

+∞   ∫ -∞

+∞   ∫ -∞

f(x, y) dy dx

Δ =

F(+∞,+∞)

5)F(x,y)     =

1 .

5)  

FX(x) =

x   ∫ -∞

+∞   ∫ -∞

f(t, y) dy dt ,   FY(y) =

y   ∫ -∞

+∞   ∫ -∞

f(x,y) dx dy; ,

где F_X(x), F_Y(y) - функции распределения СВ X и Y. Например,

FX(x)

4)F(x,y)     =

F(x,+∞)

Δ =

x   ∫ -∞

+∞   ∫ -∞

f(x, y) dy dx .

Для F_Y(y) утверждение доказывается аналогично.

6)  

fX(x) =

+∞   ∫ -∞

f(x, y) dy ,         fY(y) =

+∞   ∫ -∞

f(x, y) dx.

Это вытекает из свойства 5) и определения Л4.Р3.О2.

7)   Пусть СВ

V

Δ =

φ(X,Y),

где φ(x, y) - заданная скалярная функция аргументов x, y О R¹ , такая что

+∞   ∫ -∞

+∞   ∫ -∞

|φ(x, y)|f(x, y) dx dy < +∞.

Тогда можно показать, что

M[V] =

+∞   ∫ -∞

+∞   ∫ -∞

φ(x, y)f(x, y) dx dy.

8)   Для независимости непрерывных СВ X и Y необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

f(x, y) = f_X(x)f_Y(y)

во всех точках непрерывности этих функций. Действительно, по определению плотности

y   ∫  -∞

x   ∫  -∞

f(x, y) dx dy = F(x, y) =

||

в силу незави- симости

||

= FX(x)FY(y) =

Л4.Р3.О2      =

x   ∫ -∞

fX(x) dx

y   ∫ -∞

fY(y) dy =

x   ∫ -∞

y   ∫ -∞

fX(x)fY(y) dx dy .

Откуда следует свойство 8).

Замечание 2.   Свойство 6)f(x,y) позволяет по плотности вероятности двумерной СВ Z найти плотность вероятности СВ X и Y.

9)   Если непрерывные СВ X и Y независимы, то справедлива формула свертки плотностей, т.е. плотность распределения СВ

V

Δ =

X + Y

имеет вид

fV(v) =

+∞   ∫ -∞

fX(x) fY(v-x) dx ,

где f_X(x), f_Y(y) -- плотность распределения СВ X и Y. Пусть

D

Δ =

{x, y : x + y ≤ v} .

Тогда

FV(v)

Δ =

P{X + Y ≤ v}

2)f(x,y)     =

∫ ∫  D

f(x, y) dx dy

8)f(x,y)     =

=

∫ ∫  D

fX(x),fY(y) dx dy =

+∞   ∫ -∞

fX(x) (

v-x   ∫ -∞

fY(y) dy) dx =

||

y

Δ =

t - x

||

=

=

+∞   ∫ -∞

fX(x) (

v   ∫ -∞

fY(t-x) dt) dx =

v   ∫ -∞

+∞   ∫ -∞

fX(x)fY(t-x) dx dt .

Понятие независимости для двумерных случайных величин.

Две дискретные случайные величины и называются независимыми, если для всех пар i, j выполняется соотношение